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Quest of Mathの日記: 常微分方程式の級数解法(5) 1

日記 by Quest of Math

巾級数

a0 + a1*x + ... + an*x^n + ...

の収束半径がrの時、この巾級数を項別微分して得られる巾級数

a1 + 2*a2*x + ... + n*an*x^(n-1) + ...

の収束半径はrである。

これを証明せよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月09日 17時48分 (#510837) 日記
    ここでは次の定理を使う。

    整級数Σa_n*x^nについて、

    lim|a_{n+1}/a_n| (n→∞)

    が存在すれば、収束半径Rは

    R = 1/(lim|a_{n+1}/a_n|)

    である。

    問題では、仮定より

    r = 1/(lim|a_{n+1}/a_n|)

    である。Σn*a_n*x^(n-1)について

    |(n+1)*a_{n+1}/(n*a_n)| = (1+1/n)*|a_{n+1}/a_n|

    したがって、n→∞のとき

    (1+1/n)*|a_{n+1}/a_n| → r

    より、求める巾級数の収束半径はrである。
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