Quest of Mathの日記: 常微分方程式の級数解法(5) 1
日記 by
Quest of Math
巾級数
a0 + a1*x + ... + an*x^n + ...
の収束半径がrの時、この巾級数を項別微分して得られる巾級数
a1 + 2*a2*x + ... + n*an*x^(n-1) + ...
の収束半径はrである。
これを証明せよ
巾級数
a0 + a1*x + ... + an*x^n + ...
の収束半径がrの時、この巾級数を項別微分して得られる巾級数
a1 + 2*a2*x + ... + n*an*x^(n-1) + ...
の収束半径はrである。
これを証明せよ
アレゲは一日にしてならず -- アレゲ研究家
証明 (スコア:1)
整級数Σa_n*x^nについて、
lim|a_{n+1}/a_n| (n→∞)
が存在すれば、収束半径Rは
R = 1/(lim|a_{n+1}/a_n|)
である。
問題では、仮定より
r = 1/(lim|a_{n+1}/a_n|)
である。Σn*a_n*x^(n-1)について
|(n+1)*a_{n+1}/(n*a_n)| = (1+1/n)*|a_{n+1}/a_n|
したがって、n→∞のとき
(1+1/n)*|a_{n+1}/a_n| → r
より、求める巾級数の収束半径はrである。