Quest of Mathの日記: 常微分方程式の級数解法(6) 1
日記 by
Quest of Math
次の常微分方程式
dy/dx = x + 2*x*y
について、
y = a0 + a1*x + ... + an*x^n + ...
dy/dx = a1 + 2*a2*x + ... + n*an*x^(n-1) + ...
を代入し、その係数を比較して与えられた常微分方程式を解け。
このように級数を用いて常微分方程式を解く方法を「級数解法」という
次の常微分方程式
dy/dx = x + 2*x*y
について、
y = a0 + a1*x + ... + an*x^n + ...
dy/dx = a1 + 2*a2*x + ... + n*an*x^(n-1) + ...
を代入し、その係数を比較して与えられた常微分方程式を解け。
このように級数を用いて常微分方程式を解く方法を「級数解法」という
人生の大半の問題はスルー力で解決する -- スルー力研究専門家
証明 (スコア:1)
dy/dx = x + 2*x*y
である。
y = a0 + a1*x + ... + an*x^n + ...
dy/dx = a1 + 2*a2*x + ... + n*an*x^(n-1) + ...
であるので、
(左辺) dy/dx = a1 + 2*a2*x + ... + n*an*x^(n-1) + ...
(右辺) x + 2*x*y
= x + 2*x*(a0 + a1*x + ... + an*x^n + ...)
= (2*a0+1)*x + 2*a1*x^2 + ... + 2*an*x^(n+1) + ...
したがって、x^0,x^1,x^2,...と順番に係数を比較すると
a1 = 0
2*a2 = 2*a0+1
3*a3 = 2*a1
4*a4 = 2*a2
...
(n+1)a_(n+1) = 2*a_(n-1)
となる。a1=0であるので、n=2*k+1すならちnが奇数であれば
a1 = a3 = a5 = ...= a_(2*k+1) = 0
である。n=2*kすなわち,nが偶数であれば、
a_(2*k) = (1/(2*k))*2*a_(2*k-2)
= (1/k)*a_(2*k-2) = (1/k)*(1/(2*k-2))*2*a_(2*k-4)
= (1/k)*(1/(k-1))*a_(2*k-4)
...
= (1/(k*(k-1)*...*2))*a2
= (1/k!)*(a0+1/2)
このことから、
y = a0 + a1*x + ... + an*x^n + ...
= a0 + 0 + (1/2!)*(a0+1/2)*x^2 + 0 + ... + 0 + (1/k!)*(a0+1/2)*x^(2*k) + 0 + ...
= a0 + (a0+1/2)*Σ(1/k!)*x^(2*k) (k:1~∞)
となる。Σ(1/k!)*x^(2*k) (k:1~∞)であるが、
Σ(1/k!)*x^(2*k) (k:1~∞)
= Σ(1/k!)*((x^2)^k)
kが1からはじまっていることに注意すると、
1 + Σ(1/k!)*((x^2)^k) = e^(x^2)
であるので、
Σ(1/k!)*((x^2)^k) = e^(x^2) - 1
したがって、
y = a0 + (a0+1/2)*(e^(x^2)-1)
= a0 + a0*e^(x^2) - a0 + (1/2)*e^(x^2) - 1/2
= -1/2 + (a0+1/2)*e^(x^2)
a0+1/2を任意定数Kとして、
y = -1/2 + K*e^(x^2)
よって、これが求める微分方程式の解である。