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Quest of Mathの日記: 常微分方程式の級数解法(6) 1

日記 by Quest of Math

次の常微分方程式

dy/dx = x + 2*x*y

について、

y = a0 + a1*x + ... + an*x^n + ...

dy/dx = a1 + 2*a2*x + ... + n*an*x^(n-1) + ...

を代入し、その係数を比較して与えられた常微分方程式を解け。

このように級数を用いて常微分方程式を解く方法を「級数解法」という

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月10日 5時20分 (#511157) 日記
    常微分方程式

    dy/dx = x + 2*x*y

    である。

    y = a0 + a1*x + ... + an*x^n + ...
    dy/dx = a1 + 2*a2*x + ... + n*an*x^(n-1) + ...

    であるので、

    (左辺) dy/dx = a1 + 2*a2*x + ... + n*an*x^(n-1) + ...
    (右辺) x + 2*x*y
    = x + 2*x*(a0 + a1*x + ... + an*x^n + ...)
    = (2*a0+1)*x + 2*a1*x^2 + ... + 2*an*x^(n+1) + ...

    したがって、x^0,x^1,x^2,...と順番に係数を比較すると

    a1 = 0
    2*a2 = 2*a0+1
    3*a3 = 2*a1
    4*a4 = 2*a2
    ...
    (n+1)a_(n+1) = 2*a_(n-1)

    となる。a1=0であるので、n=2*k+1すならちnが奇数であれば

    a1 = a3 = a5 = ...= a_(2*k+1) = 0

    である。n=2*kすなわち,nが偶数であれば、

    a_(2*k) = (1/(2*k))*2*a_(2*k-2)
    = (1/k)*a_(2*k-2) = (1/k)*(1/(2*k-2))*2*a_(2*k-4)
    = (1/k)*(1/(k-1))*a_(2*k-4)
    ...
    = (1/(k*(k-1)*...*2))*a2
    = (1/k!)*(a0+1/2)

    このことから、

    y = a0 + a1*x + ... + an*x^n + ...
    = a0 + 0 + (1/2!)*(a0+1/2)*x^2 + 0 + ... + 0 + (1/k!)*(a0+1/2)*x^(2*k) + 0 + ...
    = a0 + (a0+1/2)*Σ(1/k!)*x^(2*k) (k:1~∞)

    となる。Σ(1/k!)*x^(2*k) (k:1~∞)であるが、

    Σ(1/k!)*x^(2*k) (k:1~∞)
    = Σ(1/k!)*((x^2)^k)

    kが1からはじまっていることに注意すると、

    1 + Σ(1/k!)*((x^2)^k) = e^(x^2)

    であるので、

    Σ(1/k!)*((x^2)^k) = e^(x^2) - 1

    したがって、

    y = a0 + (a0+1/2)*(e^(x^2)-1)
    = a0 + a0*e^(x^2) - a0 + (1/2)*e^(x^2) - 1/2
    = -1/2 + (a0+1/2)*e^(x^2)

    a0+1/2を任意定数Kとして、

    y = -1/2 + K*e^(x^2)

    よって、これが求める微分方程式の解である。
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