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Quest of Mathの日記: 常微分方程式の級数解法(7) 1

日記 by Quest of Math

次の常微分方程式

x^2*y'' + 5*x*y' + 3*y = 0

(y''は、xによる2階微分。y'は、xによる1階微分をあらわす)

について、

y = x^λ*Σan*x^n (n:0~∞)

と置くとき、微分方程式に代入してλの条件を求め、
さらにλで場合分けして微分方程式を解け。

このλの条件を求める方程式を、この微分方程式の「決定方程式」という。
また、このように巾級数にx^λを掛けて解を求める方法を、「Frobenius法」という。

この議論は賞味期限が切れたので、アーカイブ化されています。 新たにコメントを付けることはできません。
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月10日 6時05分 (#511161) 日記
    常微分方程式

    x^2*y'' + 5*x*y' + 3*y = 0

    y = x^λ*Σan*x^n (n:0~∞)
    = Σan*x^(λ+n)

    である。このことから

    y' = Σ(λ+n)*an*x^(λ+n-1)
    y'' = Σ(λ+n)*(λ+n-1)*an*x^(λ+n-2)

    より、これを元の微分方程式に代入すると

    x^2*Σ(λ+n)*(λ+n-1)*an*x^(λ+n-2)
    + 5*x*Σ(λ+n)*an*x^(λ+n-1)
    + 3*Σan*x^(λ+n)

    = Σ(λ+n)*(λ+n-1)*an*x^(λ+n)
    + Σ5*(λ+n)*an*x^(λ+n)
    + Σ3*an*x^(λ+n)

    = Σ((λ+n)*(λ+n-1)+5*(λ+n)+3)*an*x^(λ+n)
    = Σ(λ^2+(2*n-1)*λ+n*(n-1)+5*(λ+n)+3)*an*x^(λ+n)
    = Σ(λ^2+(2*n+4)*λ+n^2+4*n+3)*an*x^(λ+n)
    = Σ(λ^2+(n+1+n+3)*λ+(n+1)*(n+3))*an*x^(λ+n)
    = Σ(λ+n+1)*(λ+n+3)*an*x^(λ+n)

    となる。元の微分方程式の右辺は0であるので、級数の各係数は

    (λ+n+1)*(λ+n+3)*an = 0

    n=0のとき

    (λ+1)*(λ+3)*a0 = 0

    a0≠0と仮定すると、

    (λ+1)*(λ+3) = 0

    より、λ=-1,-3である。

    (1)λ=-1のとき、(λ+n+1)*(λ+n+3)*an = 0は

    n*(n+2)*an = 0

    したがって、n≧1においてan=0であるので、

    y = x^(-1)*Σan*x^n (n:0~∞)
    = x^(-1)*(a0+a1*x+...+an*x^n+...)
    = x^(-1)*(a0+0*x+...+0*x^n+...)
    = a0/x

    (2)λ=-3のとき、(λ+n+1)*(λ+n+3)*an = 0は

    (n-2)*n*an = 0

    より、a1=0,n≧3のときan=0であるので、

    y = x^(-3)*Σan*x^n (n:0~∞)
    = x^(-3)*(a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n+...)
    = x^(-3)*(a0+0*x+a2*x^2+...+0*x^n+...)
    = (a0+a2*x^2)/x^3

    a0,a2を任意定数とすると、λ=-1のときの解はλ=-3の時の解に含まれる。
    1/x,1/x^3はそれぞれ一次独立な関数であるので、

    y = (C1+C2*x^2)/x^3 (C1,C2は任意定数)

    が求める微分方程式の一般解である。
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普通のやつらの下を行け -- バッドノウハウ専門家

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