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Quest of Mathの日記: 常微分方程式の級数解法(9)

日記 by Quest of Math

次の微分方程式

y^(n) + Q1(x)*y^(n-1) + ... + Qn(x)*y = 0

(y^(n)は、xによるn階微分をあらわす)

について、ある点aでQ1,..,Qnのうち解析的でないものがあるとする。
このような点aを「特異点」という。

(x-a)*Q1(x),((x-a)^2)*Q2(x),...,((x-a)^n)*Qn(x)

が、すべて点aで解析的になる時、この点を「確定特異点」という。

この時、

q1(x) = (x-a)*Q1(x)
...
qn(x) = ((x-a)^n)Qn(x)

とすると、q1,...,qnは点aで解析的である。

ここからが問題である。上の、q1,...,qnを使って元の微分方程式に代入した時、
その代入された微分方程式について、あるλが存在して

y = a0*(x-a)^λ + a1*(x-a)^(λ+1) + ... + an*(x-a)^(λ+n) + ... (a0は0ではない)

という巾級数解を持つことを証明せよ。

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