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Quest of Mathの日記: 常微分方程式の級数解法(10) 1

日記 by Quest of Math

以下の常微分方程式を解け

x*y'' + 2*y' + x*y = 0

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月10日 12時34分 (#511344) 日記
    x*y'' + 2*y' + x*y = 0

    に対して、両辺にxを掛けると

    x^2*y'' + 2*x*y' + x^2*y = 0

    これより、確定特異点は点0である。決定方程式は

    λ*(λ-1)+2*λ = λ^2-λ+2*λ = λ^2+λ = λ*(λ+1)

    λ=0のとき、

    y = Σan*x^n

    であるので、

    y' = Σn*an*x^(n-1) (n:1~∞)
    y'' = Σn*(n-1)*an*x^(n-2) (n:2~∞)

    より、y,y',y''を元の微分方程式に代入すると

    x*Σn*(n-1)*an*x^(n-2) + 2*Σn*an*x^(n-1) + x*Σan*x^n
    = Σn*(n-1)*an*x^(n-1) + Σ2*n*an*x^(n-1) + Σan*x^(n+1)

    = 2*a2*x + 6*a3*x^2 + ... + n*(n-1)*an*x^(n-1) + ...
    + 2*a1 + 4*a2*x + ... + 2*n*an*x^(n-1) + ...
    + a0*x + ... + a_(n-2)*x^(n-1) + ...

    = 2*a1 + (6*a2+a0)*x + ... + (n*(n-1)*an+2*n*an+a_(n-2))*x^(n-1) + ...
    = 2*a1 + (6*a2+a0)*x + ... + (n*(n+1)*an+a_(n-2))*x^(n-1) + ...

    であるので、係数を比較すると

    a1=0 , a2=(-1/6)*a0 , a3=(-1/12)*a1,... ,
    an = -a_(n-2)/(n*(n+1)) , ...

    より、nが奇数であれば、a1=a3=...=0
    nが偶数であれば、

    an = -a_(n-2)/(n*(n+1)) = a_(n-4)/(n*(n+1)*(n-1)*(n-2)) = ...
    = (-1)^(n/2)*a0/(n+1)!

    したがって、n=2*mとして

    y = Σan*x^n
    = a0*Σ((-1)^m)*x^(2*m)/(2*m+1)!
    = (a0/x)*Σ((-1)^m)*x^(2*m+1)/(2*m+1)!
    = (a0*sin(x))/x

    定数変化法より、y=(K(x)*sin(x))/xと置く。

    y' = (1/x^2)*(K'(x)*x*sin(x)+K(x)*x*cos(x)-K(x)*sin(x))
    y''
    = (1/x^4)*((K''(x)*x*sin(x)+K'(x)*sin(x)+K'(x)*x*cos(x)
    + K'(x)*x*cos(x)+K(x)*cos(x)-K(x)*x*sin(x)
    - K'(x)*sin(x)-K(x)*cos(x))*x^2
    - (K'(x)*x*sin(x)+K(x)*x*cos(x)-K(x)*sin(x))*2*x)

    =(1/x^4)*((K''(x)*x*sin(x)+2*K'(x)*x*cos(x)-K(x)*x*sin(x))*x^2
    - (K'(x)*x*sin(x)+K(x)*x*cos(x)-K(x)*sin(x))*2*x)

    より、元の微分方程式に代入すると、

    (1/x^3)*((K''(x)*x*sin(x)+2*K'(x)*x*cos(x)-K(x)*x*sin(x))*x^2
    - (K'(x)*x*sin(x)+K(x)*x*cos(x)-K(x)*sin(x))*2*x)
    + (2/x^2)*(K'(x)*x*sin(x)+K(x)*x*cos(x)-K(x)*sin(x))
    + K(x)*sin(x) = 0

    (K''(x)*x*sin(x)+2*K'(x)*x*cos(x)-K(x)*x*sin(x))*x^2
    - (K'(x)*x*sin(x)+K(x)*x*cos(x)-K(x)*sin(x))*2*x
    + (K'(x)*x*sin(x)+K(x)*x*cos(x)-K(x)*sin(x))*2*x
    + x^3*K(x)*sin(x) = 0

    K''(x)*x^3*sin(x)+2*K'(x)*x^3*cos(x)-K(x)*x^3*sin(x)+x^3*K(x)*sin(x) =0

    K''(x)*sin(x)+2*K'(x)*cos(x)=0

    したがって、

    K''(x) = -2*K'(x)*cos(x)/sin(x)

    より、

    K'(x) = C1*e^(-2*∫cos(x)/sin(x) dx) (C1:積分定数)
    = C1*e^(-2*log|sin(x)|)
    = C1/(sin(x))^2

    であるので、両辺をxで不定積分して

    K(x) = - C1*cos(x)/sin(x) + C2 (C2:積分定数)

    したがって、

    y = (K(x)*sin(x))/x = (-C1*cos(x)+C2*sin(x))/x

    が求める微分方程式の解である
typodupeerror

「科学者は100%安全だと保証できないものは動かしてはならない」、科学者「えっ」、プログラマ「えっ」

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