以下の常微分方程式を解けx*y'' + 2*y' + x*y = 0
404156 journal Quest of Mathの日記: 常微分方程式の級数解法(10) 1 日記 by Quest of Math 2004年02月26日 20時11分 以下の常微分方程式を解けx*y'' + 2*y' + x*y = 0
証明 (スコア:1)
に対して、両辺にxを掛けると
x^2*y'' + 2*x*y' + x^2*y = 0
これより、確定特異点は点0である。決定方程式は
λ*(λ-1)+2*λ = λ^2-λ+2*λ = λ^2+λ = λ*(λ+1)
λ=0のとき、
y = Σan*x^n
であるので、
y' = Σn*an*x^(n-1) (n:1~∞)
y'' = Σn*(n-1)*an*x^(n-2) (n:2~∞)
より、y,y',y''を元の微分方程式に代入すると
x*Σn*(n-1)*an*x^(n-2) + 2*Σn*an*x^(n-1) + x*Σan*x^n
= Σn*(n-1)*an*x^(n-1) + Σ2*n*an*x^(n-1) + Σan*x^(n+1)
= 2*a2*x + 6*a3*x^2 + ... + n*(n-1)*an*x^(n-1) + ...
+ 2*a1 + 4*a2*x + ... + 2*n*an*x^(n-1) + ...
+ a0*x + ... + a_(n-2)*x^(n-1) + ...
= 2*a1 + (6*a2+a0)*x + ... + (n*(n-1)*an+2*n*an+a_(n-2))*x^(n-1) + ...
= 2*a1 + (6*a2+a0)*x + ... + (n*(n+1)*an+a_(n-2))*x^(n-1) + ...
であるので、係数を比較すると
a1=0 , a2=(-1/6)*a0 , a3=(-1/12)*a1,... ,
an = -a_(n-2)/(n*(n+1)) , ...
より、nが奇数であれば、a1=a3=...=0
nが偶数であれば、
an = -a_(n-2)/(n*(n+1)) = a_(n-4)/(n*(n+1)*(n-1)*(n-2)) = ...
= (-1)^(n/2)*a0/(n+1)!
したがって、n=2*mとして
y = Σan*x^n
= a0*Σ((-1)^m)*x^(2*m)/(2*m+1)!
= (a0/x)*Σ((-1)^m)*x^(2*m+1)/(2*m+1)!
= (a0*sin(x))/x
定数変化法より、y=(K(x)*sin(x))/xと置く。
y' = (1/x^2)*(K'(x)*x*sin(x)+K(x)*x*cos(x)-K(x)*sin(x))
y''
= (1/x^4)*((K''(x)*x*sin(x)+K'(x)*sin(x)+K'(x)*x*cos(x)
+ K'(x)*x*cos(x)+K(x)*cos(x)-K(x)*x*sin(x)
- K'(x)*sin(x)-K(x)*cos(x))*x^2
- (K'(x)*x*sin(x)+K(x)*x*cos(x)-K(x)*sin(x))*2*x)
=(1/x^4)*((K''(x)*x*sin(x)+2*K'(x)*x*cos(x)-K(x)*x*sin(x))*x^2
- (K'(x)*x*sin(x)+K(x)*x*cos(x)-K(x)*sin(x))*2*x)
より、元の微分方程式に代入すると、
(1/x^3)*((K''(x)*x*sin(x)+2*K'(x)*x*cos(x)-K(x)*x*sin(x))*x^2
- (K'(x)*x*sin(x)+K(x)*x*cos(x)-K(x)*sin(x))*2*x)
+ (2/x^2)*(K'(x)*x*sin(x)+K(x)*x*cos(x)-K(x)*sin(x))
+ K(x)*sin(x) = 0
(K''(x)*x*sin(x)+2*K'(x)*x*cos(x)-K(x)*x*sin(x))*x^2
- (K'(x)*x*sin(x)+K(x)*x*cos(x)-K(x)*sin(x))*2*x
+ (K'(x)*x*sin(x)+K(x)*x*cos(x)-K(x)*sin(x))*2*x
+ x^3*K(x)*sin(x) = 0
K''(x)*x^3*sin(x)+2*K'(x)*x^3*cos(x)-K(x)*x^3*sin(x)+x^3*K(x)*sin(x) =0
K''(x)*sin(x)+2*K'(x)*cos(x)=0
したがって、
K''(x) = -2*K'(x)*cos(x)/sin(x)
より、
K'(x) = C1*e^(-2*∫cos(x)/sin(x) dx) (C1:積分定数)
= C1*e^(-2*log|sin(x)|)
= C1/(sin(x))^2
であるので、両辺をxで不定積分して
K(x) = - C1*cos(x)/sin(x) + C2 (C2:積分定数)
したがって、
y = (K(x)*sin(x))/x = (-C1*cos(x)+C2*sin(x))/x
が求める微分方程式の解である