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Quest of Mathの日記: 微分演算子(10) 1

日記 by Quest of Math

次の微分方程式

y'' + 5*y' + 6*y = (sin(x))*e^(2*x)

の特殊解を求めよ。

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月11日 10時56分 (#512013) 日記
    y'' + 5*y' + 6*y = (sin(x))*e^(2*x)

    を解く。微分演算子D=d/dxとすると

    (D^2+5*D+6)*y = sin(x)*e^(2*x)

    より、

    y = (1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*sin(x)

    ところで、オイラーの公式

    e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x)

    より、

    (1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*e^(i*x)
    = (1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*(cos(x)+i*sin(x))
    = (1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*cos(x) + i*(1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*sin(x))

    であるので、

    (1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*e^(i*x)

    求める微分方程式の解はこの微分方程式の虚部であることが分かる。
    このことから、

    (1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*e^(i*x)

    を計算する。まず

    (1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*e^(i*x) = (1/(D^2+5*D+6))*e^((2+i)*x)

    である。指数代入定理より、

    (1/(D^2+5*D+6))*e^((2+i)*x) = (1/((2+i)^2+5*(2+i)+6))*e^((2+i)*x)
    = (1/(4+4*i-1+10+5*i+6))*e^(2*x)*e^(i*x)
    = (1/(19+9i))*e^(2*x)*(cos(x)+i*sin(x))
    = ((19-9i)/(361+81))*e^(2*x)*(cos(x)+i*sin(x))
    = (19/442)*e^(2*x)*(cos(x)+i*sin(x)) - ((9*i)/442)*e^(2*x)*(cos(x)+i*sin(x))

    = (19/442)*e^(2*x)*cos(x) + (9/442)*e^(2*x)*sin(x)
    + i*((9/442)*e^(2*x)*cos(x) + (19/442)*e^(2*x)*sin(x))

    より、この虚部

    (9/442)*e^(2*x)*cos(x) + (19/442)*e^(2*x)*sin(x)

    が求める微分方程式の解である。
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未知のハックに一心不乱に取り組んだ結果、私は自然の法則を変えてしまった -- あるハッカー

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