次の微分方程式y'' + 5*y' + 6*y = (sin(x))*e^(2*x)の特殊解を求めよ。
404174 journal Quest of Mathの日記: 微分演算子(10) 1 日記 by Quest of Math 2004年02月28日 0時52分 次の微分方程式y'' + 5*y' + 6*y = (sin(x))*e^(2*x)の特殊解を求めよ。
証明 (スコア:1)
を解く。微分演算子D=d/dxとすると
(D^2+5*D+6)*y = sin(x)*e^(2*x)
より、
y = (1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*sin(x)
ところで、オイラーの公式
e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
より、
(1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*e^(i*x)
= (1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*(cos(x)+i*sin(x))
= (1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*cos(x) + i*(1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*sin(x))
であるので、
(1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*e^(i*x)
求める微分方程式の解はこの微分方程式の虚部であることが分かる。
このことから、
(1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*e^(i*x)
を計算する。まず
(1/(D^2+5*D+6))*e^(2*x)*e^(i*x) = (1/(D^2+5*D+6))*e^((2+i)*x)
である。指数代入定理より、
(1/(D^2+5*D+6))*e^((2+i)*x) = (1/((2+i)^2+5*(2+i)+6))*e^((2+i)*x)
= (1/(4+4*i-1+10+5*i+6))*e^(2*x)*e^(i*x)
= (1/(19+9i))*e^(2*x)*(cos(x)+i*sin(x))
= ((19-9i)/(361+81))*e^(2*x)*(cos(x)+i*sin(x))
= (19/442)*e^(2*x)*(cos(x)+i*sin(x)) - ((9*i)/442)*e^(2*x)*(cos(x)+i*sin(x))
= (19/442)*e^(2*x)*cos(x) + (9/442)*e^(2*x)*sin(x)
+ i*((9/442)*e^(2*x)*cos(x) + (19/442)*e^(2*x)*sin(x))
より、この虚部
(9/442)*e^(2*x)*cos(x) + (19/442)*e^(2*x)*sin(x)
が求める微分方程式の解である。