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Quest of Mathの日記: Laplace変換(3) 3

日記 by Quest of Math

f(x)をLaplace変換して得られる関数F(t)について、
f(x)を「原関数」、F(t)を「像関数」という。

また、f(x)をLaplace変換したものを、L[f(x)]という記号あらわすことにする。

Laplace変換について以下の法則が成り立つことを証明せよ。

関数f(x),g(x)をそれぞれLaplace変換したものをF(t),G(t)、
定数a,b,c (ただし,c>0)とする。

(1)線形

L[a*f(x)+b*g(x)] = a*F(t) + b*G(t)

(2)相似

L[f(c*x)] = (1/c)*F(t/c)

(3)移動

L[e^(a*x)*f(x)] = F(t-a)

この議論は賞味期限が切れたので、アーカイブ化されています。 新たにコメントを付けることはできません。
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月11日 11時22分 (#512030) 日記
    Laplace変換の線形性「L[a*f(x)+b*g(x)] = a*F(t) + b*G(t)」を証明する。

    L[a*f(x)+b*g(x)] = ∫e^(-t*x)*(a*f(x)+b*g(x)) dx (積分範囲:0~∞)
    = ∫e^(-t*x)*a*f(x)+e^(-t*x)*b*g(x) dx

    積分の性質から

    ∫e^(-t*x)*a*f(x)+e^(-t*x)*b*g(x) dx = a*∫e^(-t*x)*f(x) dx + b*∫e^(-t*x)*g(x) dx
    = a*L[f(x)] + b*L[g(x)]
    = a*F(t) + b*G(t)

    より証明された。
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月11日 11時29分 (#512036) 日記
    Laplace変換の相似性「L[f(c*x)] = (1/c)*F(t/c)」を証明する。

    L[f(c*x)] = ∫e^(-t*x)*f(c*x) dx (積分範囲:0~∞)

    であるが、

    y = c*x

    と置くと、dy/dx = cより、

    dx = (1/c)*dy

    である。積分範囲は変化しないので、y:0~∞である。したがって

    L[f(c*x)] = (1/c)*∫e^(-t*(y/c))*f(y) dy (積分範囲:0~∞)
    = (1/c)*∫e^(-(t/c)*y)*f(y) dy
    = (1/c)*F(t/c)

    よって証明された。
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月11日 11時33分 (#512039) 日記
    Laplace変換の移動性「L[e^(a*x)*f(x)] = F(t-a)」を証明する。

    L[e^(a*x)*f(x)] = ∫e^(-t*x)*e^(a*x)*f(x) dx (積分範囲:0~∞)
    = ∫e^((a-t)*x)*f(x) dx
    = ∫e^(-(t-a)*x)*f(x) dx
    = F(t-a)

    より証明された。
typodupeerror

クラックを法規制強化で止められると思ってる奴は頭がおかしい -- あるアレゲ人

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