Quest of Mathの日記: Laplace変換(3) 3
日記 by
Quest of Math
f(x)をLaplace変換して得られる関数F(t)について、
f(x)を「原関数」、F(t)を「像関数」という。
また、f(x)をLaplace変換したものを、L[f(x)]という記号あらわすことにする。
Laplace変換について以下の法則が成り立つことを証明せよ。
関数f(x),g(x)をそれぞれLaplace変換したものをF(t),G(t)、
定数a,b,c (ただし,c>0)とする。
(1)線形
L[a*f(x)+b*g(x)] = a*F(t) + b*G(t)
(2)相似
L[f(c*x)] = (1/c)*F(t/c)
(3)移動
L[e^(a*x)*f(x)] = F(t-a)
証明(1) (スコア:1)
L[a*f(x)+b*g(x)] = ∫e^(-t*x)*(a*f(x)+b*g(x)) dx (積分範囲:0~∞)
= ∫e^(-t*x)*a*f(x)+e^(-t*x)*b*g(x) dx
積分の性質から
∫e^(-t*x)*a*f(x)+e^(-t*x)*b*g(x) dx = a*∫e^(-t*x)*f(x) dx + b*∫e^(-t*x)*g(x) dx
= a*L[f(x)] + b*L[g(x)]
= a*F(t) + b*G(t)
より証明された。
証明82) (スコア:1)
L[f(c*x)] = ∫e^(-t*x)*f(c*x) dx (積分範囲:0~∞)
であるが、
y = c*x
と置くと、dy/dx = cより、
dx = (1/c)*dy
である。積分範囲は変化しないので、y:0~∞である。したがって
L[f(c*x)] = (1/c)*∫e^(-t*(y/c))*f(y) dy (積分範囲:0~∞)
= (1/c)*∫e^(-(t/c)*y)*f(y) dy
= (1/c)*F(t/c)
よって証明された。
証明(3) (スコア:1)
L[e^(a*x)*f(x)] = ∫e^(-t*x)*e^(a*x)*f(x) dx (積分範囲:0~∞)
= ∫e^((a-t)*x)*f(x) dx
= ∫e^(-(t-a)*x)*f(x) dx
= F(t-a)
より証明された。