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Quest of Mathの日記: Laplace変換(6) 1

日記 by Quest of Math

関数f(x)をLaplace変換したものをF(t)とする。
このとき、n=0,1,2,3,...について、

L[(x^n)*f(x)] = ((-1)^n)*F^{(n)}(t)

を示せ。ただし、F^{(n)}(t)は、F(t)をtについてn階微分したものである

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月11日 15時03分 (#512173) 日記
    「L[(x^n)*f(x)] = ((-1)^n)*F^{(n)}(t)」を証明する。
    「微分と積分の順序が交換可能」であると仮定する。

    ((-1)^n)*F^{(n)}(t) = ((-1)^n)*d^n(∫e^(-t*x)*f(x) dx)/dt^n

    = ((-1)^n)*d^(n-1)(∫∂(e^(-t*x)*f(x))/∂t dx)/dt^(n-1) (←ここで仮定を使う)
    = ((-1)^n)*d^(n-1)(∫(-x)*e^(-t*x)*f(x) dx)/dt^(n-1)

    = ((-1)^n)*d^(n-2)(∫∂((-x)*e^(-t*x)*f(x))/∂t dx)/dt^(n-2) (←ここで仮定を使う)
    = ((-1)^n)*d^(n-2)(∫(-x)^2*e^(-t*x)*f(x) dx)/dt^(n-2)

    ...

    = (-1)^n*∫(-x)^n*e^(-t*x)*f(x) dx
    = ∫x^n*e^(-t*x)*f(x) dx
    = ∫e^(-t*x)*x^n*f(x) dx
    = L[(x^n)*f(x)]

    より、証明された。
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