Quest of Mathの日記: Laplace変換(6) 1
日記 by
Quest of Math
関数f(x)をLaplace変換したものをF(t)とする。
このとき、n=0,1,2,3,...について、
L[(x^n)*f(x)] = ((-1)^n)*F^{(n)}(t)
を示せ。ただし、F^{(n)}(t)は、F(t)をtについてn階微分したものである
関数f(x)をLaplace変換したものをF(t)とする。
このとき、n=0,1,2,3,...について、
L[(x^n)*f(x)] = ((-1)^n)*F^{(n)}(t)
を示せ。ただし、F^{(n)}(t)は、F(t)をtについてn階微分したものである
Stay hungry, Stay foolish. -- Steven Paul Jobs
証明 (スコア:1)
「微分と積分の順序が交換可能」であると仮定する。
((-1)^n)*F^{(n)}(t) = ((-1)^n)*d^n(∫e^(-t*x)*f(x) dx)/dt^n
= ((-1)^n)*d^(n-1)(∫∂(e^(-t*x)*f(x))/∂t dx)/dt^(n-1) (←ここで仮定を使う)
= ((-1)^n)*d^(n-1)(∫(-x)*e^(-t*x)*f(x) dx)/dt^(n-1)
= ((-1)^n)*d^(n-2)(∫∂((-x)*e^(-t*x)*f(x))/∂t dx)/dt^(n-2) (←ここで仮定を使う)
= ((-1)^n)*d^(n-2)(∫(-x)^2*e^(-t*x)*f(x) dx)/dt^(n-2)
...
= (-1)^n*∫(-x)^n*e^(-t*x)*f(x) dx
= ∫x^n*e^(-t*x)*f(x) dx
= ∫e^(-t*x)*x^n*f(x) dx
= L[(x^n)*f(x)]
より、証明された。