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Linux

Quest of Mathの日記: Laplace変換(8) 3

日記 by Quest of Math

合成積の性質について調べる。
次の性質を証明せよ

関数f,g,h、定数a,bとする

(1) f・g = g・f
(2) f・(g・h) = (f・g)・h
(3) (a*f + b*g)・h = a*(f・h) + b*(g・h)

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月11日 15時15分 (#512180) 日記
    「f・g = g・f」を証明する。

    (f・g)(x) = ∫f(x-y)*g(y) dy (積分範囲:0~x)

    より、

    z = x-y (y = x-z)

    と置くと、dz/dy = -1より

    dy = -dz

    また、積分範囲はy:0~xより、z:x~0となる。したがって

    (f・g)(x) = ∫f(x-y)*g(y) dy (積分範囲y:0~x)
    = ∫f(z)*g(x-z) (-1)dz (積分範囲z:x~0)
    = (-1)*∫f(z)*g(x-z) dz (積分範囲z:x~0)

    積分の性質から

    (-1)*∫f(z)*g(x-z) dz (積分範囲z:x~0)
    = (-1)^2*∫g(x-z)*f(z) dz (積分範囲z:0~x)
    = ∫g(x-z)*f(z) dz (積分範囲z:0~x)
    = (g・f)(x)

    より証明された。
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月12日 8時47分 (#512715) 日記
    「f・(g・h) = (f・g)・h」を証明する。

    (f・(g・h))(x) = ∫f(x-z)*(∫g(z-y)*h(y) dy) dz (積分範囲y:0~z,z:0~x)
    = ∫∫f(x-z)*g(z-y)*h(y) dydz

    ここで、積分順序の交換を行う。

    ∫∫f(x-z)*g(z-y)*h(y) dydz
    = ∫(∫f(x-z)*g(z-y)*h(y) dz)dy (積分範囲y:0~x,z:y~x)
    = ∫(∫f(x-z)*g(z-y) dz)*h(y) dy

    ここで、

    u=z-y

    とすると、du=dzで、積分範囲はz:y~xであるので、u:0~x-yである。

    ∫(∫f(x-z)*g(z-y) dz)*h(y) dy
    = ∫(∫f(x-(u-y))*g(u) du)*h(y) dy (積分範囲:u:0~x-y,y:0~x)

    したがって、証明された。
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月12日 8時51分 (#512718) 日記
    「(a*f + b*g)・h = a*(f・h) + b*(g・h)」を証明する。

    ((a*f+b*g)・h)(x) = ∫(a*f+b*g)(x-y)*h(y) dy (積分範囲:0~x)
    = ∫a*f(x-y)*h(y) + b*g(x-y)*h(y) dy
    = ∫a*f(x-y)*h(y) dy + ∫b*g(x-y)*h(y) dy
    = a*∫f(x-y)*h(y) dy + b*∫g(x-y)*h(y) dy
    = a*(f・h) + b*(g・h)

    より証明された。
typodupeerror

長期的な見通しやビジョンはあえて持たないようにしてる -- Linus Torvalds

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