Quest of Mathの日記: Laplace変換(8) 3
日記 by
Quest of Math
合成積の性質について調べる。
次の性質を証明せよ
関数f,g,h、定数a,bとする
(1) f・g = g・f
(2) f・(g・h) = (f・g)・h
(3) (a*f + b*g)・h = a*(f・h) + b*(g・h)
合成積の性質について調べる。
次の性質を証明せよ
関数f,g,h、定数a,bとする
(1) f・g = g・f
(2) f・(g・h) = (f・g)・h
(3) (a*f + b*g)・h = a*(f・h) + b*(g・h)
長期的な見通しやビジョンはあえて持たないようにしてる -- Linus Torvalds
証明(1) (スコア:1)
(f・g)(x) = ∫f(x-y)*g(y) dy (積分範囲:0~x)
より、
z = x-y (y = x-z)
と置くと、dz/dy = -1より
dy = -dz
また、積分範囲はy:0~xより、z:x~0となる。したがって
(f・g)(x) = ∫f(x-y)*g(y) dy (積分範囲y:0~x)
= ∫f(z)*g(x-z) (-1)dz (積分範囲z:x~0)
= (-1)*∫f(z)*g(x-z) dz (積分範囲z:x~0)
積分の性質から
(-1)*∫f(z)*g(x-z) dz (積分範囲z:x~0)
= (-1)^2*∫g(x-z)*f(z) dz (積分範囲z:0~x)
= ∫g(x-z)*f(z) dz (積分範囲z:0~x)
= (g・f)(x)
より証明された。
証明(2) (スコア:1)
(f・(g・h))(x) = ∫f(x-z)*(∫g(z-y)*h(y) dy) dz (積分範囲y:0~z,z:0~x)
= ∫∫f(x-z)*g(z-y)*h(y) dydz
ここで、積分順序の交換を行う。
∫∫f(x-z)*g(z-y)*h(y) dydz
= ∫(∫f(x-z)*g(z-y)*h(y) dz)dy (積分範囲y:0~x,z:y~x)
= ∫(∫f(x-z)*g(z-y) dz)*h(y) dy
ここで、
u=z-y
とすると、du=dzで、積分範囲はz:y~xであるので、u:0~x-yである。
∫(∫f(x-z)*g(z-y) dz)*h(y) dy
= ∫(∫f(x-(u-y))*g(u) du)*h(y) dy (積分範囲:u:0~x-y,y:0~x)
したがって、証明された。
証明(3) (スコア:1)
((a*f+b*g)・h)(x) = ∫(a*f+b*g)(x-y)*h(y) dy (積分範囲:0~x)
= ∫a*f(x-y)*h(y) + b*g(x-y)*h(y) dy
= ∫a*f(x-y)*h(y) dy + ∫b*g(x-y)*h(y) dy
= a*∫f(x-y)*h(y) dy + b*∫g(x-y)*h(y) dy
= a*(f・h) + b*(g・h)
より証明された。