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Quest of Mathの日記: Laplace変換(9) 1

日記 by Quest of Math

関数f(x),g(x)のLaplace変換をF(t),G(t)とする。
また、fとgの合成積をf・gであらわす。
このとき、fとgの合成積のLaplace変換について

L[(f・g)(x)] = F(t)*G(t)

であることを証明せよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月12日 12時36分 (#512880) 日記
    「L[(f・g)(x)] = F(t)*G(t)」を証明する。

    ∫e^(-t*x)*(∫f(x-y)*g(y) dy) dx (積分範囲x:0~∞,y:0~x)
    = ∫∫e^(-t*x)*f(x-y)*g(y) dydx

    dyとdxの積分順序を交換すると、

    ∫∫e^(-t*x)*f(x-y)*g(y) dydx (積分範囲x:0~∞,y:0~x)
    = ∫∫e^(-t*x)*f(x-y)*g(y) dxdy (積分範囲x:y~∞,y:0~∞)

    ここで、

    z=x-y

    と置くと、dz=dxとなり、また積分範囲がx:y~∞であるので、z:0~∞より

    ∫∫e^(-t*x)*f(x-y)*g(y) dxdy (積分範囲x:y~∞,y:0~∞)
    = ∫∫e^(-t*(z+y))*f(z)*g(y) dzdy (積分範囲z:0~∞,y:0~∞)
    = ∫∫e^(-t*z)*f(z)*e^(-t*y)*g(y) dzdy
    = (∫e^(-t*z)*f(z) dz)*(∫e^(-t*y)*g(y) dy) (積分範囲z:0~∞,y:0~∞)
    = F(t)*G(t)

    より証明された。
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