Quest of Mathの日記: Laplace変換(9) 1
日記 by
Quest of Math
関数f(x),g(x)のLaplace変換をF(t),G(t)とする。
また、fとgの合成積をf・gであらわす。
このとき、fとgの合成積のLaplace変換について
L[(f・g)(x)] = F(t)*G(t)
であることを証明せよ
関数f(x),g(x)のLaplace変換をF(t),G(t)とする。
また、fとgの合成積をf・gであらわす。
このとき、fとgの合成積のLaplace変換について
L[(f・g)(x)] = F(t)*G(t)
であることを証明せよ
人生の大半の問題はスルー力で解決する -- スルー力研究専門家
証明 (スコア:1)
∫e^(-t*x)*(∫f(x-y)*g(y) dy) dx (積分範囲x:0~∞,y:0~x)
= ∫∫e^(-t*x)*f(x-y)*g(y) dydx
dyとdxの積分順序を交換すると、
∫∫e^(-t*x)*f(x-y)*g(y) dydx (積分範囲x:0~∞,y:0~x)
= ∫∫e^(-t*x)*f(x-y)*g(y) dxdy (積分範囲x:y~∞,y:0~∞)
ここで、
z=x-y
と置くと、dz=dxとなり、また積分範囲がx:y~∞であるので、z:0~∞より
∫∫e^(-t*x)*f(x-y)*g(y) dxdy (積分範囲x:y~∞,y:0~∞)
= ∫∫e^(-t*(z+y))*f(z)*g(y) dzdy (積分範囲z:0~∞,y:0~∞)
= ∫∫e^(-t*z)*f(z)*e^(-t*y)*g(y) dzdy
= (∫e^(-t*z)*f(z) dz)*(∫e^(-t*y)*g(y) dy) (積分範囲z:0~∞,y:0~∞)
= F(t)*G(t)
より証明された。