Quest of Mathの日記: Laplace変換(11) 1
日記 by
Quest of Math
関数f(x)をLaplace変換したものをF(t)とする。
g(x) = f(x-a)*G(x-a)
ただし、G(x-a) = {x≧aのとき、1; x<aのとき、0,a>0}とする。
このg(x)のLaplace変換は、e^(-a*t)*F(t)であることを証明せよ。
関数f(x)をLaplace変換したものをF(t)とする。
g(x) = f(x-a)*G(x-a)
ただし、G(x-a) = {x≧aのとき、1; x<aのとき、0,a>0}とする。
このg(x)のLaplace変換は、e^(-a*t)*F(t)であることを証明せよ。
最初のバージョンは常に打ち捨てられる。
証明 (スコア:1)
G(x-a) = {x≧aのとき、1; x<aのとき、0}
L[g(x)] = ∫e^(-t*x)*g(x) dx (積分範囲x:0~∞)
= ∫e^(-t*x)*f(x-a)*G(x-a) dx
積分範囲x:0~aとx:a~∞にわけると、x:0~aではGが0であるので、
∫e^(-t*x)*f(x-a)*G(x-a) dx (積分範囲x:0~a) = 0
より
∫e^(-t*x)*f(x-a)*G(x-a) dx (積分範囲x:0~∞)
= ∫e^(-t*x)*f(x-a) dx (積分範囲x:a~∞)
ここで、
u=x-a
とおくと、du=dxかつ積分範囲は、u:0~∞より
∫e^(-t*x)*f(x-a) dx (積分範囲x:a~∞)
= ∫e^(-t*(u+a))*f(u) du (積分範囲u:0~∞)
= ∫e^(-t*u)*e^(-t*a)*f(u) du
= e^(-t*a)*∫e^(-t*u)*f(u) du
= e^(-a*t)*F(t)
より示された。