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Quest of Mathの日記: Laplace変換(11) 1

日記 by Quest of Math

関数f(x)をLaplace変換したものをF(t)とする。

g(x) = f(x-a)*G(x-a)

ただし、G(x-a) = {x≧aのとき、1; x<aのとき、0,a>0}とする。
このg(x)のLaplace変換は、e^(-a*t)*F(t)であることを証明せよ。

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月12日 12時55分 (#512903) 日記
    g(x) = f(x-a)*G(x-a)
    G(x-a) = {x≧aのとき、1; x<aのとき、0}

    L[g(x)] = ∫e^(-t*x)*g(x) dx (積分範囲x:0~∞)
    = ∫e^(-t*x)*f(x-a)*G(x-a) dx

    積分範囲x:0~aとx:a~∞にわけると、x:0~aではGが0であるので、

    ∫e^(-t*x)*f(x-a)*G(x-a) dx (積分範囲x:0~a) = 0

    より

    ∫e^(-t*x)*f(x-a)*G(x-a) dx (積分範囲x:0~∞)
    = ∫e^(-t*x)*f(x-a) dx (積分範囲x:a~∞)

    ここで、

    u=x-a

    とおくと、du=dxかつ積分範囲は、u:0~∞より

    ∫e^(-t*x)*f(x-a) dx (積分範囲x:a~∞)
    = ∫e^(-t*(u+a))*f(u) du (積分範囲u:0~∞)
    = ∫e^(-t*u)*e^(-t*a)*f(u) du
    = e^(-t*a)*∫e^(-t*u)*f(u) du
    = e^(-a*t)*F(t)

    より示された。
typodupeerror

最初のバージョンは常に打ち捨てられる。

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