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Quest of Mathの日記: Laplace変換(12) 2

日記 by Quest of Math

関数

g(x) =
{-π/2≦x≦π/2のとき、cos(x);
  x>π/2またはx<-π/2のとき、0}

をLaplace変換せよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月12日 13時49分 (#512977) 日記
    g(x) =
    {-π/2≦x≦π/2のとき、cos(x);
        x>π/2またはx<-π/2のとき、0}

    である。これを、

    G(x-a) = {x≧aのとき、1; x<aのとき、0,a>0}

    を用いてあらわすことにする。ここでLaplace変換の積分範囲が
    x:0~∞であることに注意すると、

    g(x) = G(x)*cos(x) + G(x-π/2)*sin(x-π/2)

    としてよい(と思う)。

    L[cos(x)] = ∫e^(-t*x)*cos(x) dx (積分範囲x:0~∞)

    オイラーの公式

    e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x)

    から、

    e^(-i*x) = cos(-x) + i*sin(-x) = cos(x) - i*sin(x)

    であるので、

    cos(x) = (1/2)*(e^(i*x)+e^(-i*x))
    sin(x) = (1/(2*i))*(e^(i*x)-e^(-i*x))

    より、

    L[cos(x)] = ∫e^(-t*x)*cos(x) dx (積分範囲x:0~∞)
    = ∫e^(-t*x)*((1/2)*(e^(i*x)+e^(-i*x))) dx
    = (1/2)*∫e^(-(-i+t)*x)+e^(-(i+t)*x) dx
    = (1/2)*(1/(t-i)+1/(t+i))
    = t/(t^2+1)

    L[sin(x)] = ∫e^(-t*x)*sin(x) dx
    = ∫e^(-t*x)*((1/(2*i))*(e^(i*x)-e^(-i*x))) dx
    = (1/(2*i))*∫e^(-(-i+t)*x)-e^(-(i+t)*x) dx
    = (1/(2*i))*(1/(t-i)-1/(t+i))
    = 1/(t^2+1)

    より、「Laplace変換(11)」の公式を使うと、

    L[g(x)] = t/(t^2+1) + e^(π*t/2)/(t^2+1)
    = (t+e^(π*t/2))/(t^2+1)

    である。
    • by Quest of Math (20493) on 2004年03月12日 13時52分 (#512979) 日記
      訂正します。

      「としてよい(と思う)。

      L[cos(x)] = ∫e^(-t*x)*cos(x) dx (積分範囲x:0~∞)

      オイラーの公式

      e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x) 」

      この部分で、

      「L[cos(x)] = ∫e^(-t*x)*cos(x) dx (積分範囲x:0~∞)」

      は削除です。
      親コメント
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アレゲはアレゲ以上のなにものでもなさげ -- アレゲ研究家

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