Quest of Mathの日記: Laplace変換(12) 2
日記 by
Quest of Math
関数
g(x) =
{-π/2≦x≦π/2のとき、cos(x);
x>π/2またはx<-π/2のとき、0}
をLaplace変換せよ
関数
g(x) =
{-π/2≦x≦π/2のとき、cos(x);
x>π/2またはx<-π/2のとき、0}
をLaplace変換せよ
アレゲはアレゲ以上のなにものでもなさげ -- アレゲ研究家
証明 (スコア:1)
{-π/2≦x≦π/2のとき、cos(x);
x>π/2またはx<-π/2のとき、0}
である。これを、
G(x-a) = {x≧aのとき、1; x<aのとき、0,a>0}
を用いてあらわすことにする。ここでLaplace変換の積分範囲が
x:0~∞であることに注意すると、
g(x) = G(x)*cos(x) + G(x-π/2)*sin(x-π/2)
としてよい(と思う)。
L[cos(x)] = ∫e^(-t*x)*cos(x) dx (積分範囲x:0~∞)
オイラーの公式
e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x)
から、
e^(-i*x) = cos(-x) + i*sin(-x) = cos(x) - i*sin(x)
であるので、
cos(x) = (1/2)*(e^(i*x)+e^(-i*x))
sin(x) = (1/(2*i))*(e^(i*x)-e^(-i*x))
より、
L[cos(x)] = ∫e^(-t*x)*cos(x) dx (積分範囲x:0~∞)
= ∫e^(-t*x)*((1/2)*(e^(i*x)+e^(-i*x))) dx
= (1/2)*∫e^(-(-i+t)*x)+e^(-(i+t)*x) dx
= (1/2)*(1/(t-i)+1/(t+i))
= t/(t^2+1)
L[sin(x)] = ∫e^(-t*x)*sin(x) dx
= ∫e^(-t*x)*((1/(2*i))*(e^(i*x)-e^(-i*x))) dx
= (1/(2*i))*∫e^(-(-i+t)*x)-e^(-(i+t)*x) dx
= (1/(2*i))*(1/(t-i)-1/(t+i))
= 1/(t^2+1)
より、「Laplace変換(11)」の公式を使うと、
L[g(x)] = t/(t^2+1) + e^(π*t/2)/(t^2+1)
= (t+e^(π*t/2))/(t^2+1)
である。
Re:証明 (スコア:1)
「としてよい(と思う)。
L[cos(x)] = ∫e^(-t*x)*cos(x) dx (積分範囲x:0~∞)
オイラーの公式
e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x) 」
この部分で、
「L[cos(x)] = ∫e^(-t*x)*cos(x) dx (積分範囲x:0~∞)」
は削除です。