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Quest of Mathの日記: Laplace変換(13) 1

日記 by Quest of Math

関数

g(x) =
{2*n+1<x<2*n+2のとき、0;
  2*n≦x≦2*n+1のとき、1}

をLaplace変換せよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月12日 14時44分 (#513038) 日記
    g(x) =
    {2*n+1<x<2*n+2のとき、0;
        2*n≦x≦2*n+1のとき、1}

    であるので、

    G(x-a) = {x≧aのとき、1; x<aのとき、0,a>0}

    を使ってg(x)をあらわすと、

    g(x) = Σ(G(x-2*n) - G(x-(2*n+1))) (n:0~∞)

    である。

    L[g(x)] = ∫e^(-t*x)*g(x) dx (積分範囲x:0~∞)
    = ∫e^(-t*x)*Σ(G(x-2*n) - G(x-(2*n+1))) dx (n:0~∞,積分範囲x:0~∞)

    となる。ここで、Σと∫の順番の交換を行う。積分範囲に注意して、

    ∫e^(-t*x)*Σ(G(x-2*n) - G(x-(2*n+1))) dx (n:0~∞,積分範囲x:0~∞)
    = Σ∫e^(-t*x) dx (n:0~∞,積分範囲x:2*n~2*n+1)
    = Σ(-1/t)*(e^(-(2*n+1)*t)-e^(-2*n*t))
    = (1/t)*Σ(e^(-2*n*t)-e^(-(2*n+1)*t))
    = (-e^(-t)/t)*Σ(e^(-(2*n+2)*t) - e^(-(2*n+1)*t))
    = -e^(-t)/(t*(e^t+1))
    = -1/(t*e^t*(e^t+1))

    となって、これが求める解である。
typodupeerror

にわかな奴ほど語りたがる -- あるハッカー

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