関数g(x) ={2*n+1<x<2*n+2のとき、0; 2*n≦x≦2*n+1のとき、1}をLaplace変換せよ
404190 journal Quest of Mathの日記: Laplace変換(13) 1 日記 by Quest of Math 2004年02月29日 15時43分 関数g(x) ={2*n+1<x<2*n+2のとき、0; 2*n≦x≦2*n+1のとき、1}をLaplace変換せよ
証明 (スコア:1)
{2*n+1<x<2*n+2のとき、0;
2*n≦x≦2*n+1のとき、1}
であるので、
G(x-a) = {x≧aのとき、1; x<aのとき、0,a>0}
を使ってg(x)をあらわすと、
g(x) = Σ(G(x-2*n) - G(x-(2*n+1))) (n:0~∞)
である。
L[g(x)] = ∫e^(-t*x)*g(x) dx (積分範囲x:0~∞)
= ∫e^(-t*x)*Σ(G(x-2*n) - G(x-(2*n+1))) dx (n:0~∞,積分範囲x:0~∞)
となる。ここで、Σと∫の順番の交換を行う。積分範囲に注意して、
∫e^(-t*x)*Σ(G(x-2*n) - G(x-(2*n+1))) dx (n:0~∞,積分範囲x:0~∞)
= Σ∫e^(-t*x) dx (n:0~∞,積分範囲x:2*n~2*n+1)
= Σ(-1/t)*(e^(-(2*n+1)*t)-e^(-2*n*t))
= (1/t)*Σ(e^(-2*n*t)-e^(-(2*n+1)*t))
= (-e^(-t)/t)*Σ(e^(-(2*n+2)*t) - e^(-(2*n+1)*t))
= -e^(-t)/(t*(e^t+1))
= -1/(t*e^t*(e^t+1))
となって、これが求める解である。