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Quest of Mathの日記: Laplace逆変換(3) 1

日記 by Quest of Math

Laplace逆変換の性質を調べてみることにする。

2004年02月28日「Laplace変換(3)」と、
Laplace逆変換の一意性から、次のことが直ちに分かる。

関数F(t),G(t)をそれぞれLaplace逆変換したものをf(x),g(x)、
定数a,b,c (ただし,c>0)とする。

(1)線形

R[a*F(t)+b*G(t)] = a*f(x) + b*g(x)

(2)相似

R[F(c*t)] = (1/c)*f(x/c)

(3)移動

R[F(t-a)] = e^(a*x)*f(x)

Laplace変換LとLaplace逆変換Rの関係は、それぞれの定義から、

L[R[F(t)]] = F(t)
R[L[f(x)]] = f(x)

となる。

次の関数F(t)のLaplace逆変換f(x)を求めよ。

F(t) = (t+4)/(t+3)^2

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月12日 15時22分 (#513073) 日記
    F(t) = (t+4)/(t+3)^2
    = 1/(t+3) + 1/(t+3)^2
    = ∫e^(-(t+3)*x) dx + ∫e^(-(t+3)*x)*x dx
    = ∫e^(-t*x)*e^(-3*x) dx + ∫e^(-t*x)*e^(-3*x)*x dx
    = ∫e^(-t*x)*e^(-3*x)*(1+x) dx

    より、

    f(x) = e^(-3*x)*(1+x)

    である。
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