Quest of Mathの日記: Laplace逆変換(3) 1
日記 by
Quest of Math
Laplace逆変換の性質を調べてみることにする。
2004年02月28日「Laplace変換(3)」と、
Laplace逆変換の一意性から、次のことが直ちに分かる。
関数F(t),G(t)をそれぞれLaplace逆変換したものをf(x),g(x)、
定数a,b,c (ただし,c>0)とする。
(1)線形
R[a*F(t)+b*G(t)] = a*f(x) + b*g(x)
(2)相似
R[F(c*t)] = (1/c)*f(x/c)
(3)移動
R[F(t-a)] = e^(a*x)*f(x)
Laplace変換LとLaplace逆変換Rの関係は、それぞれの定義から、
L[R[F(t)]] = F(t)
R[L[f(x)]] = f(x)
となる。
次の関数F(t)のLaplace逆変換f(x)を求めよ。
F(t) = (t+4)/(t+3)^2
証明 (スコア:1)
= 1/(t+3) + 1/(t+3)^2
= ∫e^(-(t+3)*x) dx + ∫e^(-(t+3)*x)*x dx
= ∫e^(-t*x)*e^(-3*x) dx + ∫e^(-t*x)*e^(-3*x)*x dx
= ∫e^(-t*x)*e^(-3*x)*(1+x) dx
より、
f(x) = e^(-3*x)*(1+x)
である。