SS1の日記： books: 新しい「安定」計算術

タレコミ済み・・・・

紹介

『コンピュータのカオスをおさえる』

この本のタイトルから「カオスを創る」話を連想すると，肩すかしを食らうかもしれない。シリーズ名にある「コミュニケーション サイエンス」という言葉から受ける人文科学的なイメージも，やはり誤解のもとだ。この本は，コンピュータ計算で表われる「カオスをおさえる」ための，著者自らが発見した数式処理の技法である「安定化理論」を紹介する。

この，水色の装丁の美しいブックレットは，NTTコミュニケーション科学基礎研究所が設立10年目に，その成果を一般にわかりやすく紹介するための新しいシリーズとして提案され。そして，記念すべき新シリーズの創刊第一号として出版された。

この本では，高校生でも理解できるよう平易な例を使いながら，その「安定化」の手法を解説する。あなたが高校生でもアルゴリズムや計算機科学に興味があれば，読み通すことができるだろう。もし，あなたが数値シミュレーションをざくざくこなすエンジニアなら，ぜひ一読して欲しい。きっと役に立つことがある。

書誌情報：

『コンピュータのカオスをおさえる -- 新しい「安定」計算術』
白柳 潔 著，NTTコミュニケーション科学基礎研究所 監修，
NTT出版，2003年10月10日 発行，定価1200円+税，
91ページ，新書版，ISBN 4-7571-0111-2
お勧め度：☆☆☆☆★
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割り切れない問題

入力を浮動小数点表現で近似すると，入力の値によっては（割り切れるか？）判定に失敗することがある。それによって正しい演算結果をえられない場合もある。

たとえば，次の代入式：
ｂ：＝３ａ－１
この式で，ｂがゼロなら，割り切れたと判定する処理があるとしよう。

ここで入力が，ａ：＝１／３ のとき，浮動小数点で表現すると，ａ＝０．３３３３３ となり，

３＊（０．３３３３３）＝０．９９９９９
ｂ＝０．００００１


でｂがゼロではないので，割り切れないと判定されてしまう【失敗】。

これは，有効桁数のある浮動小数点形式のもつ性質そのもので，その演算精度で定評のあるHP電卓でも，これをゼロにすることがない。そのため，しばしばネットでも議論になる。曰く，１／３を０．３３３…と表現するのが悪いという説，丸めてしまえばいいという説。それからデデキントが出てきて，やはり，すっきりしないままに終わる。

もしかすると，この議論に終止符を打つときがきたのかもしれない。本書が紹介する「安定化手法」による計算術は，こうした問題に正しい答えを出すことができる上に，その正しさも保証する。

「安定化手法」による計算

その手続きは次の３つのステップを守るだけでよい。

１．入力係数を区間で表現する。

１／３＝[0.3332, 0.3334]
３＝[3, 3]

２．区間演算で加減乗除する。

[3, 3]*[0.3332, 0.3334]=
[0.3332*3, 0.3334*3]=

[0.9996, 1.0002]

３．ゼロ書き換えのルール

区間がゼロを含めば，それをゼロに書き換えよ

[-0.0004, 0.0002]：＝[0.9996, 1.0002]-１

区間にゼロが含まれるから，これは割り切れると判定できる【成功】。

このように「区間法は，近似値と誤差をまとめて操作して行く方法で，常に真の値をとり逃がさないように計算できます。」と説明したのち「安定化手法とはゼロ書き換えつきの区間法」と結論する。ここで，浮動小数点数の精度を上げていけば，必ず正しい結果が得られるという。数学的な正しさも，すでに検証済みのようだ。

コロンブスの卵

これほどシンプルで目からウロコな計算技法というのも珍しい。手元に四則演算子のオーバーライド可能なオブジェクト指向言語があれば，きっと区間表現のデータ型をインプリメントしてみたくなるだろう（もちろん，わたしが思ったのは一瞬だけだったけれど……）。 これだけドキドキさせてくれるコンピュータ サイエンスの基礎理論は本当に久しぶりだった。

この本の参考文献リストから：
『数理科学（特集 数式処理とその周辺）』1998年11月号，サイエンス社
『情報処理（特集 数式処理の最近の研究動向）』39巻2号，情報処理学会，1998