SS1の日記： 天地不明察

今、アフタヌーンで連載しているマンガ。天地明察がおもしろい。現在のストーリーは、江戸時代に日本の天文学を復興することになる渋川春海が、算術家の関孝和に和算の設問をしたが、それに誤りがあって大ショックを受ける。というところ。

作図された問題なのでマンガだとわかりやすくていいんだけど、気になったのが、「誤り」を正した元の答えがいくつなのか？　ということ。作中では「径矢弦の法を使えば解ける」とかいうんだけど、まあ、ふつーに解いてみようかとおもって。

作図の誤りを直すと、いわゆる「三平方の定理」で解ける問題で、直角二等辺三角形の長辺が、７分の30寸。でもって、短辺と、それに直角のところから垂線を引いて、そのまた短辺との差を求めればよい。はず。

でまあ、計算してみましたですよ・・・　式は、こんなかんじ。

　(√2-1）*15/7 　…式１

で、√２って、算学ではどう記述すんだろうとか・・・　もう、「平方根」とかあったのかな。それに設問で有理数を使っているので、答えも有理数で・・・　と思ったが、無理数の答えは、半紙に書けないと思われ。それに、√２って、当時はどうやって計算するんだろう・・・とか。ここから、脱線して√２を計算する方法を考えてみた。

えーと。√２ってのは、

２＝ｘ²　…式２

だから、この式２をいじって、追い込む方法を考える。

式２は、交換法則をつかうと、

ｘ＝2／ｘ　…式３

とできる。んで、式３から、

｛　ｙ＝ｘ、　ｙ＝2／ｘ　｝　…式４

という関数を作って、グラフにプロットすると、双曲線と斜めの直線のグラフになる。これの交点を求めれば√２になるわけだ。

んでまあ、けっこう苦労したりしたんだけども、次のような性質を利用して式を立てればいい。

０　＜　ｘ　＜　√２　のときは、　０　＜　２／ｘ　－　ｘ　　で、
√２　＜　ｘ　≦　２　のときは、　０　＞　２／ｘ　－　ｘ　　なので、

x₁　＝　１
x_n+1　＝　x_n　＋　（２／x_n　－　x_n）／２　…式５

みたいな、数列を作れば√２に収束する。　式５の最後２で割るのは、こうしないと発散しちゃうため。ｘの逆数を求めるのがウザイが、まあ、答えが有理数でよければ、分数の天地を入れ替えるだけなので・・・

というところで、√２の計算で燃え尽きた。ので、渋川春海の答えを出すところまでやってないんですが、このやりかただと「径矢弦の法」というより、ニュートン法だよねぇ・・・とか。　作品の舞台は1661年とのことで、まだニュートン生まれてないよねぇ・・・だし。いったいどうやって、答えを求めたんだろう・・・　などと。

零約術

[phason (22006)]

関孝和ですと，零約術とかありませんでしたっけ．
こんな感じで．

http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~susumu/lecture/kjsen11/ex/C-B-2/index.html [kyoto-u.ac.jp]

和算でも無理数のようなものがあるというのは（確か厳密な証明ではなく，感覚的に）認識されていたものの，実用的な有理数での近似を重視していた，とか聞いた覚えがあります．

江戸時代も後期になるとニュートン法と同様な近似解の求め方など，収束の早い手法が開発されたようです．