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gm300の日記: モンティ・ホール問題 wiki 5

日記 by gm300
何かした前後で確率を再計算しなくていいかを議論するのは間違いじゃないかな。何かしたら常に確率は常に再計算しなくてはならない。
ただし「何か」が結果に影響しない場合もある。
wiki の3人の囚人の問題の説明は間違いだ。

はじめ死刑になるのは、
{AB},{AC},{BC}
だったが、
Bは死刑と決まったので、{AC}という選択肢はなかったことがわかった。この時点で1/3という前提というか仮定はなくなる。もう1/3のことは忘れる。
その後で存在する組み合わせは
{AB},{BC}
のみ。だから1/2.

じゃBが死刑ということをAは知らなかったら確率はどうなるか?Aの考えるもっともそれらしい期待値は1/3. 知ったら/知らなかったらはあまり意味が無い。銃殺の場面で、執行する人はBをまず殺そう。と考えて実行するつもりだったが、弾が逸れてAに当たることを神様は実は知っていた。Aは9年目の魔法で防御されていた。Aはクローンされていて銃殺されそうなのはA12だった。知っている・知らないは立場によって状況が違うために知っている中での最良の推測しかない。
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  • by tagga (31268) on 2009年12月06日 12時15分 (#1684516) 日記

    受験数学には「順列で考える」という格言があります。 組合せでは、それぞれの場合が直感に反して等確率でないことがあります。 その一方、順列のそれぞれの場合は等確率になっていることが多いからです。

    3囚人問題では、順番に死刑になると考えます。並べ方は、 AB, AC, BA, BC, CA, CB の 6通りあります。 看守は、最初が A なら次の人を、そうでなければ最初の人を答えます。 B と答えるのは、AB, BA, BC の 3通りです。 それゆえ、A が恩赦になる確率は 1/3 となります。

    組合せで考えるときは、{A, B} については必ず B と看守が答え、 {B, C} については半分の確率で B と答えることに注意が必要です。 A が恩赦になる条件付き確率を求めると (1/3*1/2)/(1/3 + 1/3*1/2) = 1/3 となります。

    • その問題は、wikipedia にある問題と少し違います。wikipedia にあるのは、「近々3人まとめて処刑される」「Bは死刑になる」とあるだけで、処刑順序に関する指示はありません。

      順列の場合、{CB}の場合にもBって答えるのはなぜいけないのでしたっけ?
      親コメント
      • by tagga (31268) on 2009年12月07日 23時52分 (#1685096) 日記

        wikipedia にあるのは、「近々3人まとめて処刑される」「Bは死刑になる」とあるだけで、処刑順序に関する指示はありません。

        そこが順列で考えるときのツボです。「確率は時間を超越する」のです。

        想像してください。刑務所長が、A, B, C の名前が書かれた 3枚の死刑執行書から 2枚を並べて、看守に渡します。この時点で誰が死刑になるか決っています。 そのあと、実際の執行人が、二挺拳銃で一度に殺しても、 順番に殺しても、ひねくれて逆順に殺しても、確率には関係ありません。

        順列の場合、{CB}の場合にもBって答えるのはなぜいけないのでしたっけ?

        これは手を抜くためのトリックです。気になるなら最後にコイントスで決めてかまいません。 例えば、BC や CB で、表なら 1枚目、裏なら 2枚目を答えるようにします。 ただし、AB や BA でもコイントスをして、表裏どちらでも B と答えるようにしなければ なりません。そうしないと、AB表、BC裏、…… が等確率になりません。

        ここで、表のものと、裏のものをそれぞれ集めて、対応させます。 A が含まれているものは、表裏だけ違うものに、 A が含まれないものは、B と C も入れ替えたものに対応させると、 看守の答えが同じものを一対一に対応させることができます。 なので、コイントスを省き BC か CB のときは 1枚目と決めれば (同様に 2枚目に決めてもかまいませんが)、計算が半分ですみます。

        親コメント
        • いやいや、新しい情報が入った時点で確率はどんどん変わるんです。時間がどうこう というのは、情報が持っていない未来の話だけ。Bが撃たれた次には、どちらかが撃たれんるんですよ。

          中学校の問題でもあるじゃないですか。「袋の中に赤い玉が、4個と、青い弾が2個あって、青い弾を取った人はその弾で撃ち殺される。」「(1) 今誰かが青い弾を取り出して撃ち殺された。次に赤い玉を取り出す確率はいくつですか?(2) 袋に玉/弾を戻さない場合、はじめに玉を取り出すのと、二番目に取り出すのではどちらふが赤い玉を取り出す確率が高いですか?」ってやつ。(1) と(2)は違う。

          じゃ、ちなみに「Bは死刑にはならない」と答えてもらった場合、どうなりますか?

          「想像してください。刑務所長が、A, B, C の名前が書かれた 3枚の死刑執行書から 2枚を並べて、看守に渡します。この時点で誰が死刑になるか決っています。」この時点ではAから見た期待値は、1/3でしょうね。文句無いです。所長や、すでに紙を見てしまった看守の立場からは0か1です。

          (1) でその後に、看守が、Bに向かって「お前、ラッキーだな。独房に戻りな」というそのときAが処刑される確率は?今はAは絶望的。
          (2) 銃殺部隊がBを射殺してさらにCも射殺した。今Aが銃殺される可能性は?
          (3) 銃殺部隊がBを射殺したのをみてAとCが同時叫ぶ「いやだーおいらが銃殺され可能性は2/3になっちまったー」それって両方とも正しい?
          親コメント
          • by tagga (31268) on 2009年12月09日 7時34分 (#1685940) 日記

            私がずっと指摘しているのは、各事象が等確率とは限らないということです。 〈新しい情報が入る〉たびに確率は変わりますが、 〈新しい情報が入る〉ことと〈新しく何かが起こる〉ことは同じではありません。

            根元事象が等確率であることが分かりやすい次のような条件を付けて、 〈新しい情報が入る〉と確率の計算がどう変化するのか考えてみてください。

            • A, B, C のうち 2人を処刑するが、その順番はクジ引きでもう決まっている。
            • 看守は、誰が処刑されるか聞かれたとき、最初に処刑されるのが本人ならもう 1人を、 そうでなけば最初に処刑される人を答える。
            • 以上の条件をみなが知っている。

            A が恩赦になる確率は次のように変わっていきます。

            1. A が 上の条件だけを知っている段階では、{AB, AC, BA, BC, CA, CB} のうちで、 {BC, CB} の場合に恩赦なので、 2/6 = 1/3。
            2. A が Bが処刑されると知った段階では、{AB, BA, BC} のうちで、 {BC} の場合に恩赦なので、1/3。
            3. A が1人目にBが処刑されたと知った段階では、{BA, BC} のうちで、 {BC} の場合に恩赦なので、1/2。
            4. A が B の次に自分が打たれたと知った段階では、{BA} のうちで、 恩赦になるものがないので、0。

            ルールを破って、看守が A に 1人目に B が処刑されると言ってしまえば、 その段階で 3 と同じに A が恩赦になる確率は l/2 になってしまいます。 A の処刑が終わった後であっても、それを知らない人にとって、 最初に処刑されたのが B だと知った段階では A が恩赦になった確率は l/2 です。 それが「確率は時間を超越する」ということです。

            元の 3囚人問題に戻します。 看守が A に B が処刑されると言ったときに A∩B と B∩C の 2つの事象では確からしさが異なります。 B∩C のときコイントスで看守が選んでいれば、 A∩B は B∩C の 2倍の確からしさがあります。 次の日記につけたコメントのプログラムのコメント部分を参照してください。

            親コメント
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計算機科学者とは、壊れていないものを修理する人々のことである

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