j3259の日記: 剛体力学
剛体力学というものを習ったことがない。こういうのは理系ならちゃんと大学とかで教えてくれてもよさそうだけど、習った記憶がない。考えてるのは、ヒトを曲がらない棒に例えて空から落としたとして、斜めに足から着地した場合にどうやって回転させて頭も着地できるようにするかということ。
手元にある本で探して何となく分かった気になったのは Watt の 3D Grames による解説。
Forces applied at the centre of mass cause a change in linear momentum and those applied elsewhere are torques and cause a change in angular momentum.
We have:
M(t) = mv(t)
v(t) = M(t)/m
d(M(t))/dt = d(mv(t))/dt = ma(t) = F(t)that is, the rate of change of momentum equals the applied force.
Similarly we can define angular momentum as
L(t) = I(t)omega(t)
omega(t) = I-1(t)L(t)
d(L(t))/dt = I(t)d(omega(t))/dt = I(t)alpha(t) = tau(t)which says that the rate of change of angular momentum is equal to the applied torque. Note that linear velocity and angular velocity are both linearly related to linear and angular momentum. The difference in the case of angular velocity is that the constant of proportionality is a tensor (3 x 3 matrix) I whereas with linear velocity it's a scalar (mass).
Torque differs from force in that its magnitude depends on the relationship between its point of application and the centre of mass of the body. If we apply force F to a body where the point of application in the body has position vector r then the torque is defined as
tau = (r - x) CROSS F
where x is the centre of the mass.
Torque on Wikipedia を見るとアニメーションで視覚化してある。
ボールを反時計回りに回転させると、最初の一瞬だけ上向けにトルクが発生してあとは上向きに角運動量が発生してる。減速すると逆に下向きにトルクが発生して角運動量は小さくなってる。
で、F = Sigma{Fi}
tau = Sigma{(ri - x)Fi}
らしい。同じ方向に押した場合は力は相殺しないのに回転は発生することになる。
これは一押しで二度おいしいのか?
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