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okkyの日記: それは順列と組み合わせにおける「重複除去」問題

日記 by okky

taggaさんの日記発、
Ledさんの日記経由、
MZ80+userさんの日記における疑問:

自分にセンスがないのは重々承知だけど、やっぱり納得いかない。 モンテカルロ法でしたっけ、乱数つかったシミュレーションでもやっぱりあの値になるのかな?

.

もちろんなります。

問題: 2人子どもがいて、片方は火曜日生まれで男の子である。2人とも男の子の確率は?

片方が男の子なのは判っているので、もう一方が男の子か、女の子かを考えればいいのです。が、ここに落とし穴が。

まずはもう一方が女の子の場合を数えましょう。性別と曜日の組み合わせは
性別: 女 = 1通り
曜日: 日月火水木金土 = 7通り
ですので、7通りありえます。で、男の子が先に生まれたのか、女の子が先に生まれたのかで、それぞれが7通りなので、合計すると14通りです。これは問題ないと思う。

.

問題は、両方共男の子の場合です。上記の説明は長男、次男のどちらが火曜日生まれなのか述べていません。なので、

長男が火曜日生まれで、次男がいつでもよい = 7通り
次男が火曜日生まれで、長男はいつでもよい = 7通り

の合計14通り…と数えると、数が合いません。そう。上記のカウントだと「長男も次男も火曜日生まれ」の場合を2度数えている。これを外すと 13通り

で、足すと 13+14 = 27通りが分母。分子は13通り、となるのです。

.....

ようするにこの問題や類似の問題は、「二人いるうちのどちらについての言及なのかをしない」ことによって、2重カウントを起こさせるように仕向けてあるのがポイントなんです。

一般に「aの条件が成り立つか、あるいはbの条件が成り立てばいいですよ」と言われたら、頭の中でこの2つを独立事象として考え、確率を単純に足してしまうのが人間です。
しかし、実際にはそこから「aの条件が成り立ち、なおかつbの条件が成り立つ確率」を引かなくちゃいけない。単純に足すと、「aの条件が成り立ち、なおかつbの条件が成り立つ」場合を2度数えているからです。

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未知のハックに一心不乱に取り組んだ結果、私は自然の法則を変えてしまった -- あるハッカー

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