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416706 journal

ozumaの日記: Landau Level

日記 by ozuma

3次元ではランダウ準位へのsplitは起こらないとあっさり書いたけどちょっとそれにつまづいてしまった

2次元電子系でのランダウ準位へのsplitは、電子のサイクロトロン運動のエネルギーが離散準位にあることを意味する 自由電子の場合は当然、

E = p^2 / 2m = {\hbar}^{2} k^{2} / 2m

なわけであるからエネルギーはもちろん連続スペクトルなわけである

ここに磁場{\bf H}をかけると、Vector Potential {\bf A}を用いてハミルトニアンを書き下し、座標と{\bf A}を用いた表示$\Pi$との交換関係から、Harmonic Oscillatorと同じハミルトニアンの形に持って行ける

E_n = {\hbar}{\omega}(n+\frac{1}{2}) + ほげほげ

が、3次元系になると、磁場をかけた方向をz軸に取ればxy平面内では同じくサイクロトロン運動をしてエネルギーは量子化されるがz方向へは元のままfree electronとして振舞う つまり

E = E_z + {\hbar}{\omega}(n+\frac{1}{2}) + ほげほげ

$E_z$は当然、${p_z}^{2}/2m = {\hbar}^{2} {k_z}^{2} / 2m$な連続スペクトルなわけだから、結局ランダウ準位へのsplitは起こらないと言える $E_z$が十分小さければ、broadなLandau Levelへのsplitが起こるであらう

……んだと思うけど間違っているかも この辺、学部時代には全然やらなかったからなぁ
ってか、これで合ってますか?>Hドクター

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長期的な見通しやビジョンはあえて持たないようにしてる -- Linus Torvalds

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