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日記

taggaの日記: 凹凸と不等式

日記 by tagga

平均の一般化についてのスライドが流れてきた。
蓑田恭秀. 2016. 意外と深い「平均」の世界: 相加平均・相乗平均 他にいくつ知っていますか? SlideShare. http://www.slideshare.net/yasuhideminoda/ss-61542316

この辺は楽しい。 一般化平均 μ_p = {(a^p + b^p)/2}^(1/p) で p→0のときに相乗平均(幾何平均)になるのを高校のころに知ったとき、 対数すごいと感動したものである。 p→∞でmax{a, b}、p→-∞でmin{a, b}にも……、 あれ、こっちは覚えていない。たぶんノルムの話かなんかのとき。

もうちょい一般化だと、fが全単射として μ_f = f^{-1}((f(a)+f(b))/2) のときに f(x) = x = x^1で相加平均(算術平均)、 f(x)=1/x=x^{-1}で調和平均になるのに対して、 f(x)=log x で相乗平均になる。

(a+b)/2≧√(ab)の証明で、好きなのは、f(x) = log x が上に凸なので、 f((a+b)/2)≧(f(a)+f(b))/2 というやつ。 一般化しておくと、 f(x)が下に凸なほど、って変は表現だけど、 f(μ)=(f(a)+f(b))/2 となるμはmaxに近付くし、上に凸なほどminに近付く。

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アレゲは一日にしてならず -- アレゲ見習い

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