taggaの日記: 内積のイメージ
日記 by
tagga
内積(ドット積)は、 ベクトル自体がワケワカでもう分かんなくてもいいやという状態で 導入されることが多いから、 とくに工夫する必要があるかなという気もするが……。
例えば、商品が1種、鮭だけのおにぎり屋さんがあったとする。 1個あたりの利益を限界利益(問題あるけど、この意味で使う人もいる)と呼ぶことにすると、
- 利益 円 = 限界利益 円/個 × 個数 個.
商品が2種 (鮭、明太子) になると、 利益はスカラーだけど、限界利益と個数がベクトルになり、 内積が出てくる。
- 限界利益 = [x1円/鮭, y1円/明],
- 個数 = [x2鮭, y2明],
- 利益(円) = 限界利益・個数 = x1円/鮭 × x2鮭 + y1円/明 × y2 明.
限界利益空間と個数空間は別ものなのだけど、 いい客、だめな客の議論をするには、重ねる必要がある。 そうすると、ベクトルの大きさを内積で示すことができる。
- v = [x, y] のとき |v|2 = v・v = x2 + y2.
仮に、 限界利益=[2円/鮭, -1円/明] {明太子は客寄せ商品で赤字}のばあい、 利益に中立的な客は、限界利益と垂直な [1鮭, 2明] の何倍かで買っていく。 利益に貢献する理想的{そんな奴いない}な客は、 限界利益と平行な [2鮭, -1明]{鮭2個を買い、明太子1個を売る!}の何倍かで買っていく。 なお、
- 限界利益・[2鮭, -1明] = |限界利益|2,
- 限界利益・[1鮭, 2明] = 0.
客は個数空間の要素で、この2つの合成である。例えば、
- 太郎=[3鮭, 1明] = 太郎の貢献成分+太郎の中立成分 = [2鮭, -1明] + [1鮭, 2明].
- 太郎による利益 = 限界利益・太郎 = 限界利益・太郎の貢献成分 = 5円.
利益限界に対して、太郎の貢献成分は平行、太郎の中立成分は垂直なので、 太郎の貢献成分ベクトルは、利益限界ベクトルへの正射影ベクトルになる。 つまり、太郎と利益限界のなす角をθとすると、
- 太郎の貢献成分 = |太郎|cosθ 限界利益/|限界利益|,
- 限界利益・太郎の貢献成分 = |太郎|cosθ |限界利益|2/|限界利益| = |限界利益||太郎| cosθ.
つまり、
- 限界利益・太郎 = |限界利益||太郎| cosθ.
というふうに別種のベクトルで考えておくのが、分かりやすい気がする。
おゼゼが嫌なら、物理の仕事あたりで。
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