taggaの日記： 精神的に病んでいるので sine

念のためだが sin「サイン」の英語は sine.

加法定理には、いろいろ証明方法はあるのだけど、 三角比で台形作るやつは、個人的には嫌。 けど、 通常だと、単位円より三角比の方がしみこんでいるからなあ。

三角比でやるなら、面積の方が好き。 OH=1にして、∠AOH=α, ∠OHA=∠R, ∠BOH=β, ∠OHB=∠R というふうに、 AとBをHに関して反対側にとってやると,

△AOB=1/2*secα*secβ*sin(α+β)=1/2*1*(tanα+tanβ).

分母をはらって整理すると、sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

どうせなら一般角にしてしまえってことで、 O(0, 0), A(cosα, sinα), B(cosβ,sinβ) にして、 余弦定理と2点間の距離から,

(cosα-cosβ)²+(sinα-sinβ)² = 1²+1² - 2*1*1*cos(β-α).

整理すると、cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ. これで、βをπ/2-βでおきかえる。

高校範囲外になっていいなら、 2次元なら行列式が平行四辺形の符号つきの面積なので,

1*1*sin(β-α)=cosαsinβ-cosβsinα. これで、αを -αでおきかえる。

ただ、やっぱ回転で考えるのが筋だと思う。 行列でも複素数でもできるけど、 ベクトルで書いておく。

まず、(cosα, sinα)=cosα(1, 0)+sinα(0, 1).

x軸, y軸の正の向きの単位ベクトル(1, 0), (0, 1)を原点中心にβだけ まわしてやると、(cosβ, sinβ), (-sinβ, cosβ)なので、

(cos(α+β), sin(α+β))=cosα(cosβ, sinβ)+sinα(-sinβ, cosβ).

y成分をとればできあがり。

図形の移動や変形は、図形を動かすと考えるより、「座標軸」を動かすという 基本の考え方どおり。

個人的には下のものほど簡単だと思うけど、 アンケート調査したらたぶん上のものほど簡単という結果になるんだろうなあ……。

パッと思いつく解法といったら

[Anonymous Coward]

やっぱり、円の回転から求める方法かな

# 高校生向きかどうかはわかりませんが。