taggaの日記: 入試問題のストーリー性 1
日記 by
tagga
yasuoka先生の整数問題 https://srad.jp/~yasuoka/journal/619085/の 背景にあるのは、 「ブニャコフスキー予想」 というらしい。名前は知らなかった。
整数係数を持つ2次以上の既約多項式は、自然数引数に対して、
- 1より大きい最大公約数を無限集合を生成する、か、
- 無限個の素数を生成する。
n^3-7n+6=(n-1)n(n+1)-6n+6=(n-1)(n-2)(n+3) が6の倍数なので、
- n^3-7n+8 については、n=-3,1,2のときだけ、素数の2で、他は2の倍数。
- n^3-7n+9 については、n=-3,1,2のときだけ、素数の3で、他は3の倍数。
- n^3-7n+10 については、素数はなくて、全部2の倍数。
- n^3-7n+11 については、無限個の素数が出てくる。
というような話。
入試問題をながめていると、 出題者はストーリーがあって作り始めたけど、妥協でこうなっただろうなとか、 ストーリーは無理だけど風景だけでものつもりで作り始めたけど、 やっぱり妥協でこうなっただろうなとか、いろいろある。
いわゆる「フェルマーの最終定理」がらみだと、 物議をかもした、信大のやつが有名。文は簡略化。
仮に、1以上の整数 x, y, z について、x^3+y^3=z^3が 成り立つとしたとき、x, y, z の少なくとも1つは3の倍数であることを示せ。
存在しないものについて解かせるのかというツッコミがあったけど、 if の世界で議論できないと困る。 ちなみに mod 3 ではなくて、mod 9 で考えよう。
別のタイプだと
n が正の整数のとき、8^n = 3^n + 5^n が成りたつのは n = 1 のときだけであることを示せ。
こっちは整数問題でも大きさの見積りで絞るタイプ。
ストーリーがある方が観賞する分には楽しい。 ただ、入試だと判別に使うので、 出題者の想定したストーリー以外でもなんとかできるようにしないといけないし、 面倒そうだね(他人事)。
背理法 (スコア:0)
フェルマーの最終定理の証明にも背理法が使われている訳ですし、実在するかどうかは置いておいて「仮に存在するなら○○になるはず」と言う議論・考察が出来るのは重要ですよね…。