taggaの日記： 気分転換にラグランジュの未定乗数法

頭の中が次の業務に切り換わらないので、気分転換に、 Lagrange's multiplier. これがなぜか覚えられないので、なんで覚えられないのかなあと。 いや使わないから、覚える必要はないのだけど。

g(x, y) = 0 という条件のもとで、F=f(x, y) の最大・最小になりそうな、 x, y を求めたい。

F=f(x,y) というのは起伏のある地形。 条件がなくて、最大・最小の候補になるのは、 そこだけ平らな ∂f/∂x = ∂f/∂y = 0 のところ。

g(x, y)=0 というのは、地図でみてる道。 この道にそって起伏の歩いて、そこだけ平らなとこを探す。 その近辺だと x=x(t), y=y(t) のように歩けるはずで、 F=f(x(t), y(t)) なら、t で微分できそうで、

F' = ∂f/∂x × x' + ∂f/∂y× y' = (∂f/∂x, ∂f/∂y)・(x', y') = 0.

つまり、最大・最小の候補は、地形の勾配と速度ベクトルが垂直のとき。

地図だけみてれば平で、g(x(t), y(t)) = 0 から、

g' = ∂g/∂x×x'+∂f/∂y×y' = (∂g/∂x, ∂g/∂y)・(x', y') = 0.

つまり、いつでも、 断面が地図になる何かの勾配と速度ベクトルは垂直。

ということで、最大・最小の候補は、 同じ速度ベクトルと垂直同志なので、 起伏の勾配と道を含む何かの勾配が平行のとき。

;; ここは、地図を g(x, y)+M=M みたいに持ち上げて、地形と重ねて、 ちょうど平らだからと、した方が分かりよかったんだろうか。

(∂f/∂x, ∂f/∂y)∥(∂g/∂x, ∂g/∂y)は、行列式で書いてもいいけど、 ある知らない定数λがあって、

(∂f/∂x, ∂f/∂y)=λ(∂g/∂x, ∂g/∂y).

ばらして移行すると、 ∂f/∂x - λ∂g/∂x = 0, ∂f/∂y - λ∂g/∂y = 0.

左辺が出てくる式を考えると、L = f(x, y)-λg(x, y).

実際、 ∂L/∂x=∂f/∂x - λ∂g/∂x, ∂L/∂y=∂f/∂y - λ∂g/∂y。

ついでにλも変数と思って偏微分してみると、

∂L/∂λ=∂f/∂λ - ∂(λg)/∂λ = -g(x, y).

だから、∂L/∂x=∂L/∂y=∂L/∂λ=0 となるようにすればいい。

最後のあたりが、結局、最初の条件 g=0 じゃんで……。