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日記

taggaの日記: 頭が働かないので雑に 1=0.999... について語る 10

日記 by tagga

完備性で説明する人が多いけど、 その一部のアルキメデス性だけでいい。 アルキメデス性というのは《チリも積れば山となる》という性質。

どんな小さな正数εと、どんな大きな正数 M について、 nε > M となる自然数 n がある。

話の都合上、これの系を導入する。 0でなければ、桁数があるということ。

どんな小さな正数εと、どんな大きな正数 M について、 10nε > M となる自然数 n がある。

本論の前半。

1 - 0.999... = ε とおく。 これが仮に正だったら、 10nε > 1、つまり、ε > 1/(10n) となる 自然数 n がある。 ところが、この n を使うことにして、 εの小数第1位から第(n+1)位までをながめてやれば分かるように、 ε < 1/(10n)。

矛盾するので、仮定の部分が間違い。 εが負ということはないので、残る可能性は ε=0。

ということで、実数に《チリも積れば山となる》性があることを認めると、 1=0.999... を認めざるをえない。

ここから、後半。

それでは、「実数」に《チリも積れば山となる》性があることを認めないと、 なのだけど、 他の人の実数には《チリも積れば山となる》性があるので、 そういうものは区別して「超実数」と呼ぶことになっている。 これには、無限小や無限大である数がいろいろ入っている。 これだと 1≠0.999... 。おめでとう。

とはいえ、 実用のためには《チリも積れば山となる》性がある数体が必要。 それには、有限の数に絞り、差が無限小で類別する。 そうすると、 1≡0.999...。 こうやって作ったものには《チリも積れば山となる》性があり、 実数が復活する。 これについて、面倒だから≡を=で書くことにすれば、1=0.999...。

ということで、あきらめろ。

;; あした、朝一から会議。つまり、いつもはまだ眠ってる時間から……。

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  • by yasuchiyo (11756) on 2018年09月13日 23時11分 (#3480476) 日記

    とにかく今日は早く寝ろ。
    # もう寝てるかな

  • by Anonymous Coward on 2018年09月14日 1時24分 (#3480517)

    y = f(x) = 1 / (x - 1)
    式a: f(1 - ε) = -∞
    式b: f(1 + ε) = +∞
    式c: f(1) = undefind
    ε = 0 ならば上記のa, b, cの式は成立しないので、仮定の部分が間違い。
    よって、ε ≠ 0

    では如何?
    #εが超実数なだけですけど。

  • by Anonymous Coward on 2018年09月14日 5時43分 (#3480549)

    1 - 0.999...を計算する過程は終わるのか?
    選択公理的なものがいるんじゃないかな。

    自分なりに考えると、
    S_n={0.9,0.99,0.999...}の集合と、小数点以下n桁で表記できる数の集合T_n(例:T_1={0.0,0.1,0.2,...0.9})を考える。
    S_nはT_nに含まれるいずれの値と等しいかより大きい値を含む。
    一方U_n={1,1.0,1.00}はS_nに含まれるいずれの値より大きい値を含む。
    U_nの要素は全て1と等しい。
    つまりS_nは1より小さい十進数表記ができるどんな数より大きいか等しく、1以下である。
    任意の1未満の実数を十進数展開する過程を考えてもその性質は保たれる。
    よって0.999...は1以下で、1未満の如何なる実数以上。
    …だからなんだ?

    考え直そう。
    S_nはそのまま使う。
    任意の0でない正の実数εを考える。
    0でなく正だから、十進数展開を行えば0以外がどこかで出現する。
    最初に出現した時の数字をε'とする(例えばπ/100なら0.03)。
    ε≧ε'。
    1-ε'より大きい値を含むS_nは構成できる。
    つまりいずれかのS_nは任意の1でない1未満の実数より大きく(以上ではない)かつ1以下となる値を含む。
    その値は1しかない。
    従ってS_1,S_2,...に含まれる要素は1を含む。

    割と有限の操作で何とかなってる気がする。

    ところで、
    0.999...で9が加算無限個続いているならまだいい。
    9が非可算集合とかの濃度で続いてたらどうなるんだ?
    例えば実数全体と同じだけ9が続いているとなると。
    なんだか1を超えてもおかしくない気がする。

  • by Anonymous Coward on 2018年09月14日 8時19分 (#3480587)

    要するに、1未満のあらゆる値より大きく、1を超えない値ってこった。

    そして循環論法へ……。

    • by Anonymous Coward

      1未満のあらゆる有理数より大きく、1を超えない実数は1しか存在しない
      と言い切ってしまうのがアルキメデス性そのものです

  • by Anonymous Coward on 2018年09月14日 11時27分 (#3480691)

    中坊の頃1/3*3=0.99…=1になるのはなんで?、てなことを友人と延々と議論してました。

    結局、0.99…の定義だけが問題に気がするのですが、数列1/10^nの極限値という定義なら、1=0.99…は当たり前な気がします。
    完備性も関係ないですよね、有理数で閉じてるのだから。

    • 極限値の定義でεδ論法を使いますが、そのεの部分に アルキメデス性が隠れています。 これがないと、極限値が一意になりません。

      なお、有理数の範囲では、アルキメデス性は自然数の性質から証明できます。 実数の範囲に広めると、 アルキメデス性を完備性の公理から証明するか、 逆に、 完備性の公理として、アルキメデス性と区間縮小法の原理、アルキメデス性とコーシー列の収束を置くように、公理の一部にすることもできます。

      ということで、1=0.999... は有理数の範囲なら、証明できます。

      1-0.999... >0 と仮にする。 1は有理数、0.999...も循環小数なので有理数なので、 これも有理数で、q/p (p, q ∈ N; p,q≧1)と書けるはずである。 そのとき、10n > p となる(正の)自然数 n がある。

      1-0.999... = q/p の両辺に 10nを掛けると、 (1-0.999...)×10n = q/p × 10n > q/p × p = q ≧1.

      ところで、1-0.999... < 1-0.999...9 [9がn個] = 10-n なので、 (1-0.999...)×10n < (1-0.999...9)×10n = 1.

      矛盾するので、仮定が誤りで、1-0.999... = 0。つまり、1=0.999....。

      親コメント
    • by Anonymous Coward

      数学者のピーター・フランクルが昔にテレビで解説してた
      分数で計算すると
      1/3*3=1
      少数で計算すると
      1/3*3=0.33…*3=0.99…
      よって1=0.99…

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「科学者は100%安全だと保証できないものは動かしてはならない」、科学者「えっ」、プログラマ「えっ」

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