taggaの日記： 頭が切り替わらないので、微分方程式から指数法則を出す

;; 書類や交渉……。授業準備に切り替わらないので、気分転換。

指数関数を作るときに (1)⇒(2) が本筋だけど、(2)⇒(1)が楽という話。

• (1) f(p + q) = f(p)×f(q), f(x) は連続関数, f(a)≠0 となる a がある。
• (2) f'(x) = kf(x), f(0) = 1.

y = f(x) があって (2) を満たしているとする。 これを X = x - q, Y = y / f(q) のように変換した Y = F(X) を求めたい。

x = X + q, y = f(q)×Y なので、 y = f(x) に代入して、f(q)×Y = f(X + q) なので、Y = f(X + q) / f(q) となり、F(X) = f(X + q) / f(q).

微分すると、F'(X) = f'(X + q) / f(q) = kf(X + q) / f(q) = kF(X). また、F(0) = f(q) / f(q) = 1.

ということは、F(X) と f(x) は実は同じなので、f(X) = f(X+q) / f(q).

X=pにして、整理すると、f(p+q) = f(p)×f(q).

あとは、x=0のまわりで0より大のことを利用して、どこでも 0 より大を示し、穴を埋めておく。

(1)⇒(2)は、x=0での微分可能性が面倒。 もちろん、この上の展開でも、こっそりあれこれ使っているけど。