taggaの日記: 打合せでメゲたから非マットウに、指数関数の微分可能
日記 by
tagga
f(p + q)=f(p)×f(q)、f(x)は連続で、f(c)≠0でないcがある
から、まっとうでないやり方で微分可能を示す。
めんどうなので、f(1)=aで、f(x)=ax になっているとこまでは、 略。 f(1)≠1で単調増加か単調減少かも略。
補題として、仮に f(1)=a>1で、∫(-∞, 0) f(t)dt が存在することを示す。
nを非負の整数として、-(n+1)≦x≦n のとき 0 < ax ≦ a-n. だから、0 <∫(-(n+1), 0) f(t)dt ≦ Σk∈[0, n] a-k < 1/(1-(1/a)).
上に有界だけど、n を増やしていくと増えていくので、どこかに上限がある。 つまり、広義積分が存在する。
この ∫(-∞, 0) f(t)dt = K とする。 x を一般の定数として、 ∫(-∞, x) f(t)dt を t=s+x で変数変換すると、
∫(-∞, x) f(t)dt = ∫(-∞, 0) f(s+x)ds = f(x)∫(-∞, 0) f(s)ds = K f(x).
つまり、f(x) = 1/K × ∫(-∞, x) f(t)dt.
これが、x が一般の定数なので、変数だとしても成立する。
ということで、めでたく x で微分できて、f'(x) = 1/K × f(x).
あととは、あちこと穴をふさぐ。
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