taggaの日記： なんの脈絡もなく円周上の有理数点

;; 体調悪し。目が霞むし、吐き気がひどくて、考えごとができない。

xy平面上の円周上に有理数点がいくつあるかという話。2個以下か、無限にある。

補題1: 有理数点を中心とする円周上に有理数点が1つあれば、円周上に有理数点は無限にある。

∵ 中心を(x₀, y₀)、円周上の有理数点を(x₁, y₁) としたとき、
(x₁ - x₀)² + (y₁ - y₀)² = {(x₁ - x₀)×(1-q²)/(1+q²) - (y₁ - y₀)×2q/(1+q²)}² + {(x₁ - x₀)×2q/(1+q²) + (y₁ - y₀)×(1-q²)/(1+q²)}².

補題2: 円周上に有理数点が3つあれば、中心も有理数点である。

∵ 弦の方程式の係数が有理数にでき、垂直二等分線の方程式も有理数にできるので、その交点である中心は有理数点。

ということで、中心が有理数点なら 0個(例: x²+y²=3) か無限にある (例: x² + y²=1)。

中心が有理数点でないなら 0個 (例: (x-√3)²+y²=1)、 1個 (例: (x-√3)²+y²=3)、 あるいは 2個 (例: (x-√3)²+y²=4)。

ピタゴラスの定理

[taka2 (14791)]

「ピタゴラス数は無数にある(ことの証明は略)」から、
円周上の有理数点が無数にあることは自明、かなと。

Re:ピタゴラスの定理

[tagga (31268)]

それで自明になるのは、原点中心で半径が1のときだけ。

例えば、x²+y²=π だと、 仮に有理数点があると、左辺が有理数で、右辺が無理数になる。

右辺が有理数でもあるとは限らない。 x²+y²=3 を考えてみる。 x, y が有理数ならば、m, n, N を整数 (ただし、m, n は同時に3で割れない)と して、x = m/N, y = n/N と書ける。 そうすると、m²+n²=3N となる。 3の剰余類で考えてやると、左辺は 1, 2だが、右辺が 0で、ありえない。 ということは、円周上に有理数点がない。

Re:

[Anonymous Coward]

単位円を有理アフィン変換で写したものなら有理点が無限にあるというのが補題1で
有理点が3つあれば実際有理アフィン変換で写せるというのが補題2ですね

Re:

[Anonymous Coward]

補題1に関しては、
sin(θ)^2+cos(θ)^2=1
でsin(θ)=a/b、cos(θ)=c/bの組み合わせはピタゴラス数が無限にあるから無限。
もちろんa/bが有限にはならない。
で平行移動して回転行列を掛けると有理数点は有理数点のまま。
の方が個人的には直感的かな。数式的には長くはなるけど。