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14100757 journal
日記

taggaの日記: 微分方程式の演算子法

日記 by tagga

どうでもいい表記の問題なんだけど、演算子法で微分演算子を D と書くのはいいんだけど、 恒等演算子(単位演算子)は数字のままなのが歴史的な経緯があるとはいえ、なんか嫌。

p(x)を多項式として、x に D をつっこむには、定数のところも線形演算子にかえるわけで、x0 = 1 のところを I にするのが、 きれいな気がする。

斉次線形微分方程式だと p(D)〈f〉=〈0〉という核 K を求める話になるのだけど、 p(x) が n次だと、dim K = n 。 p(D) を因数分解すれば「固有値」と「固有空間」の次元が分かる。 このとき、 (D - λI)k〈f〉=〈0〉の基底が exp(λt), t exp(λt), ... tk exp(λt) というお約束だけど、 気分的には tk/k! exp (λt) みたいな形に書きたい。

非斉次だと p(D)〈f〉=〈g〉で、特殊解 h(t) がみつかると、一般解がこれに核の要素を足したやつというのは、 行列で連立方程式を解くときと同じ。

んで、特殊解。

{p(D)}-1 はこのままだとないので、K をつぶす、つまり F/K という商空間を考えてやれば、 めでたく p(D) の因数についても逆写像があるので、それを逆数のつもりで計算していいよということになる。 ということは、部分分数分解ができる。 これで、演算子のかけ算の逆数が、演算子の逆数の足し算になる。

あとは、(D - λI)-1〈g〉 〜 exp(λt)∫(0, t) g(s) exp(-λs) ds という定数変化法で、がんば。

;; 穴だらけの雑な説明……。

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ハッカーとクラッカーの違い。大してないと思います -- あるアレゲ

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