taggaの日記： 漸化式の演算子法

線形微分方程式の演算子法 https://srad.jp/~tagga/journal/636410/ と考え方が同じの 線形漸化式の演算子法もいちおうはあるという、半分よた話。 ただ、演算子の数も増えるし、積分に相当する和を計算するのも面倒。

なお、話の都合上、初項の添字は 0。

出てくる線形演算子は次のようなもの:

• Ia_n = a_n,
• Na_n = a_n+1,
• Δa_n = a_n+1 - a_n,
• Σa_n = a₀ + a₁ + ... + a_n-1.

a_n+2 - 5a_n+1 + 6a_n = 0 のような漸化式は、
(N² - 5N + 6I)〈a_n〉= 〈0〉
のように書き直される。演算子の式の部分を因数分解すると、
(N - 2I) (N - 3I)〈a_n〉= 〈0〉
となる。

ここで、(N - rI)〈x_n〉= 〈0〉の解は x_n = p rⁿ のように書けるので、 a_n = p 2ⁿ + q 3ⁿ というのが、斉次のとき。

非斉次のときは、(N - rI)^-1 にあたるものを考えてやればいい。

(N - rI)〈rⁿu_n〉= r × rⁿ (N - I)〈u_n〉 = r × rⁿ Δ〈u_n〉
というのが「定数変化法」にあたるもので、 演算子が N から Δ になっているのがミソ。こうすると、
ΣΔu_n = u_n - u₀
という関係が使える。面倒なので、u₀ = 0 にしておくと、
(N - rI)^-1 b_n 〜 rⁿ × 1/r ×Σ(b_n × r^-n).

特殊解を1つ求めるとき、 部分分数分解して腕力勝負というのは同じ。腕力が要るのが、積分ではなく、数列の和ということ。