taggaの日記： 漸化式のラプラス変換もどき

数列でもラプラス変換もどきはできるはずということで……。

とりあえず Σ[0,∞)a_nsⁿ (ただし、|Re s| < 1) というものを考えてみる。 このとき、n→∞として a_nsⁿ→0になっていることを期待する。

こうすると、Σa_n+1sⁿ = Σ{1/s (a_n+1sⁿ⁺¹ - a₀) + 1/s a_nsⁿ} = - a₀ / s + 1/s Σa_nsⁿ.

例えば、a_n+1 - 2a_n = 1 を変換してやると
-a₀ / s + 1/s Σa_nsⁿ - 2 Σa_nsⁿ = 1/(1-s).

地道に整理すると
Σa_nsⁿ = - 1/(1-s) + (a₀ + 1)/(1 - 2s).

Σrⁿsⁿ = 1/(1- rs) であることから
a_n = -1 + (a₀ + 1) 2ⁿ.

;; 仕事しよう……。

なにそれ、

[Anonymous Coward]

Z変換 [wikipedia.org] ?
(数列のラプラス変換、ということでの脊髄反射)

実質的にそれ

[tagga (31268)]

複素関数論に助けてもらわなくていい範囲なので、 計算しやすいようにいじくっているだけ。