taggaの日記： テイラーの定理のベルヌーイ剰余

テイラーの定理の剰余項で証明が一番楽(余分な条件を入れてるから)なのが、ベルヌーイの剰余で、
R_n = ∫_{a}^{x} 1/(n-1)! × (x-t)^{n-1} × f^(n)(t)dt.

部分積分いっぱつで、
R_n = ∫_{a}^{x} {- 1/n! × (x-t)^n}' × f^(n)(t)dt
    = 1/n! × (x-a)^n × f^(n)(a) + ∫_{a}^{x] 1/n! × (x-t)^n × f^(n+1)(t)dt
    = 1/n! × (x-a)^n × f^(n)(a) + R_{n+1}.

ただ、これだと意味が分かりにくい気がする。

もう一段階こまかく見るために、
f^(n)(t) = f^(n)(a) + ∫_{a}^{t}f^(n+1)(s)ds
という式をもちこんで、
R_n = ∫_{a}^{x} 1/(n-1)! × (x-t)^{n-1} × {f^(n)(a) + ∫_{a}^{t} f^(n+1)(s)ds} dt
    = 1/n! × (x-a)^n × f^(n)(a) + ∫_{a}^{x} 1/(n-1)! × (x-t)^{n-1} × ∫_{a}^{t} f^(n+1)(s)ds dt.

D = {(t, s)| a≦s≦t, a≦t≦x} としてやると、(a≧xのときは微調整するけど面倒なので省略)
R_n = 1/n! × (x-a)^n × f^(n)(a) + ∫∫_{D} 1/(n-1)! × (x-t)^{n-1} × f^(n+1)(s)ds dt.

D = {(t, s)| s≦t≦x, a≦s≦x} とみてもいいので、「足し算」(積分)していく順序を逆にして
R_n = 1/n! × (x-a)^n × f^(n)(a) + ∫_{a}^{x} {∫_{s}^{x} 1/(n-1)! × (x-t)^{n-1}dt} × f^(n+1)(s)ds
    = 1/n! × (x-a)^n × f^(n)(a) + ∫_{a}^{x} 1/n! × (x-s)^n × f^(n+1)(s)ds.

ということは、R_n = 1/n! × (x-a)^n × f^(n)(a) + R_{n+1}.

部分積分が積分する順序を変えることと分かっている人には、まだるっこしいだけだけど。 無限小のΣとΔで書いていくと、もうちょい分かりやすいかもしれない。