taggaの日記： 思いっきり鬱なので、雑すぎな指数分布とポアソン分布の話

稀に起こる現象があって、短時間の 1/n で起きる確率が p、単位時間あたりの平均回数(期待値)が λ ということにしておく。このとき
λ = np.

この関係を維持して、 p→ 0 つまり、n→∞ にする。

t までに起きる確率は 1 - (1-p)^{tn} = 1 - (1-p)^{λt/p} ≈ 1 - e^{-λt}.
これが指数分布の累積分布関数。密度関数は微分して λe^{-λt}.

いっぽう、単位時間で r 回起きる確率は、r<<n なので、二項分布から
n(n-1)……(n-r+1)/r! × p^r × (1-p)^{n-r} ≈ (np)^r / r! × (1-p)^{λ/p} ≈ λ^r / r! × e^{-λ}.

これがポアソン分布の質量関数。

むろん雑すぎるで、こういうのを数理統計学で書いてはいけない。