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ttの日記: 数学的センス不足 11

日記 by tt
かなり前にfaireal.netあたりで話題になっていた奴ですがー。 日能研だったかの電車釣り広告にあるテストがもとのはなし。

「正方形とそれに内接する円を書きます。正方形の中にランダムに点をx個打ちます。円の中にある点の数はいくつになることが一番多いでしょう」

というのを計算するのにrubyの勉強を兼ねてrubyで書いてみました。

瞬間的に考えて (円周率)/4*x を四捨五入した値、と思ってしまうわけですが、これがそうじゃないんですよね… 色々計算しているんですが、法則性が分かりません。切り上げでも切り下げでも四捨五入でもない。

センス不足ですかね。うーむ。うぐぅ。

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  • 最頻値 (スコア:2, 参考になる)

    by you-you (4108) on 2007年09月20日 7時57分 (#1221731) 日記
    x回の試行の平均値ではなく最頻値を教えてくださいという
    問題に読めます。p=(円周率)/4として、
      a!/x!/(a-x)!*p^a*(1-p)^a
    が一番大きくなるaの値が欲しいってことかと。
    階乗をスターリングの公式で近似すると、
    あとは微分して0とおいて、停留点を求めればよいです。
    小学生向けじゃない解き方ですが・・・。(滝)
    • by you-you (4108) on 2007年09月20日 9時49分 (#1221766) 日記
        a!/x!/(a-x)!*p^a*(1-p)^(x-a)
      でした。
      親コメント
    • by Anonymous Coward
      ところで円周率っていくつなんだろうね?

      #奥が深い質問。(w
      • by Anonymous Coward
        ひとつでしょ?
        • by Anonymous Coward
          出題が日能研だとしたら小学校の教育内容によって使われる値は異なるよ。
          Aという値は学ぶが、Bという値を使用しても良いという話だし。

          #精度が状況によってどこまで必要か、という判断による。
          • by Anonymous Coward
            元は日能研かもしれませんが、ttさんの取り組まれているのは、それを発展させた問題であってもはや対象が小学生ではないものだと思うのですが。
  • by mpls (8235) on 2007年09月20日 13時21分 (#1221879) 日記
    モンテカルロ法の概念を連想できるかどうかぐらいしか問題にしてないんだなぁ。みつを

    昔、大学の数学の教職課程で Mathematica を使ってなんか面白い授業を考えろって言われて、同じように円周率をモンテカルロ法で求めるってのをやってみたけど、Mathematica 様でやった結果もちょっと残念な感じでしたよ。
    --
    --- show mpls ldp neighbor
  • 乱数の質が悪いのかも。乱数が偏ってるとxを増やせば増やす程解も偏りそうだし。
  • by Anonymous Coward on 2007年09月20日 17時16分 (#1221948)
    p = π/4とすると円内にa回入る確率P(a) (a = 0, 1, ..., x)は、
      P(a) = { x! p^a (1-p)^(x-a) } / { a! (x-a)! } となります。
    このとき少し計算すると P(a+1)/P(a) - 1 = { px + p - 1 - a } / { (a+1)(1-p) }
    となることが分かりますから、
    P(a+1) >=< P(a) ⇔ a <=> px + p - 1 (不等号/等号同順)
    であること(単峰性)が分かります。したがって
    a = floor(px + p)
    のときにP(a)が最大となります。pは1/2より大きいのでttさんの期待された round(px)と一致したり1大きかったりします。
typodupeerror

Stay hungry, Stay foolish. -- Steven Paul Jobs

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