taggaの日記： いろいろな平均

a, b が正で、m_n = {(a^n + b^n)/2}^{1/n} とすると、 m_1 が算術平均(相加平均)、m_{-1}が調和平均。

n=0は計算できないので、かわりにm_0 = lim_{n→0}{(a^n + b^n)/2}^{1/n} とすると、 m_0 = √(ab) で幾何平均(相乗平均)。
∵ n→0のとき a^n = 1 + n * log a + o(n) で b^n も同様なので、 m_n = {1 + n*log√(ab) + o(n)}^{1/n} = e^log√(ab) + o(1).

ついでなので、m_∞ = lim_{n→∞} {(a^n + b^n)/2}^{1/n} =max{a, b}, m_{-∞} = lim_{n→-∞} {(a^n + b^n)/2}^{1/n} =min{a, b}.