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吾輩はリファレンスである。名前はまだ無い -- perlの中の人
証明 (スコア:1)
∀ε>0,∃N, n>N ⇒ ∀x∈D, |f'n(x)-g(x)|<ε
である。このことから、n,m>Nであれば
|f'n(x)-f'm(x)|= |f'n(x)-g(x)-f'm(x)+g(x)|
≦ |f'n(x)-g(x)|+|f'm(x)-g(x)| < 2*ε
である。
{fn}が収束するようなDの元をyとすると、
任意のx∈Dについて、区間[x,y]⊂Dがとれて、平均値の定理を用いれば、
あるz∈Dが存在して
|fn(x)-fm(x)-(fn(y)-fm(y))|/|x-y| = |f'n(z)-f'm(z)|
|fn(x)-fm(x)-(fn(y)-fm(y))| = |x-y|*|f'n(z)-f'm(z)|
ここで両辺に、|fn(y)-fm(y)|を足すと
|fn(x)-fm(x)-(fn(y)-fm(y))| + |fn(y)-fm(y)|=
|x-y|*|f'n(z)-f'm(z)| + |fn(y)-fm(y)|
左辺は
|fn(x)-fm(x)-(fn(y)-fm(y))| + |fn(y)-fm(y)|
≧ |fn(x)-fm(x)-(fn(y)-fm(y)) + fn(y)-fm(y)|
= |fn(x)-fm(x)|
となるので、
|fn(x)-fm(x)| ≦ |x-y|*|f'n(z)-f'm(z)| + |fn(y)-fm(y)|
右辺は仮定から収束するのだから、{fn}は||・||_{D}に関してCauchy列である。
したがって、{fn}は連続関数fに一様収束する。
また、m→∞とするとき、
|fn(x)-f(x)-(fn(y)-f(y))| < |x-y|*2*ε
である。したがって、
|fn(x)-fn(y)-g(x)*(x-y)-(f(x)-f(y)-g(x)*(x-y))| < |x-y|*2*ε
より、
|f(x)-f(y)-g(x)*(x-y)| < |fn(x)-fn(y)-g(x)*(x-y)| + |x-y|*2*ε
さらに、
|fn(x)-fn(y)-g(x)*(x-y)|
= |fn(x)-fn(y)-f'n(x)*(x-y)+fn'(x)*(x-y)-g(x)*(x-y)|
≦ |fn(x)-fn(y)-f'n(x)*(x-y)| + |fn'(x)-g(x)|*|x-y|
であるので、微分可能の定義から、あるδ>0が存在して
|x-y|<δ ⇒ |fn(x)-fn(y)-f'n(x)*(x-y)| < ε*|x-y|
であるので、|x-y|<δであれば、
|f(x)-f(y)-g(x)*(x-y)| < ε*|x-y| + ε*|x-y| + |x-y|*2*ε
= 4*ε*|x-y|
である。よって、微分可能の定義から、fは微分可能で、
f'(x)=g(x)
となり、証明された。