「常微分方程式系(1)」記事へのコメント

定理

[Quest of Math (20493)]

まず、

「関数g:R^2→Rについて

|x-x0|≦ρ,|y-y0|≦η ((x0,y0)∈R^2,ρ＞0,η＞0)

を満たす範囲で連続で、かつこの範囲の(x,y)は次の条件を満たすとする。

|g(x,y)|≦M (M＞0)

また、gはyに関して,あるL＜∞が存在して

|x-x0|≦ρ,|y-y1|≦η,|y-y2|≦η
⇒|g(x,y1)-g(x,y2)|≦L*|y1-y2|

すなわち、Lipschitz連続であるとする。

このとき、あるh＞0が存在して、区間I上の未知関数fの常微分方程式

f'(x) = g(x,f(x))

は、[x0-h,x0+h]∩Iでただ一つの解を持つ。」

これを証明する。

証明

[Quest of Math (20493)]

まず、

I'=[x0-h,x0+h]∩I
A={f∈C^0(I') | ||f-y0||_{C^0(I')}＜η}}

とする。また、

hM＜η、hL＜1

となるようにhを十分小さくとる。

H(f)(x) = y0+∫g(s,f(s)) ds (積分範囲s:x0～x)

とする。このとき、f∈Aについて、

|| H(f)-y0 ||_{C^0(I')} = || H(f)-y0 ||_{I'}
= max{|∫g(s,f(s)) ds| (積分範囲s:x0～x)| x∈I'}
≦ h*max{g(s,y) | s∈I',|y-y0|＜η}
≦ h*M
≦ η

つまり、このことから、HはAからA自身への写像となる。
また、f,f'∈Aについて、

||H(f)-H(f')||_{C^0(I')} = || H(f)-H(f') ||_{I'}
= max{|∫g(s,f(s))-g(s,f'(s)) ds| (積分範囲s:x0～x)| x∈I'}
≦ h*L*max{|f(x)-f'(x)| | x∈I'}
≦ h*L*||f(x)-f'(x)||_{C^0(I')}

h*L＜1であるので、ここからBanachの不動点定理が使える。
(C^0(I')がBanach空間であることはあとで証明する)
したがって、HはI'上でただ一つの不動点fを持つ。
すなわち、fは求める微分方程式の解となる。