「R^n上での微分・積分(2)」記事へのコメント

証明

[Quest of Math (20493)]

f(x,y) = x^2 + y^2
u=(1,0)

であるので、Duf(x,y)の定義から、

(f(x+h*1,y+h*0)-f(x,y))/h = (f(x+h,y)-f(x,y))/h
= ((x+h)^2+y^2 - (x^2+y^2))/h
= (x^2+2*h*x+h^2-x^2)/h
= (2*h*x+h^2)/h
= 2*x+h

したがって、h→0のとき、

(f(x+h*1,y+h*0)-f(x,y))/h → 2*x

よって、

Duf(x,y) = 2*x

である。