「素数の分布は「ベンフォードの法則」に従っている」記事へのコメント

【新ジャンル】しがないリーマンのオレが、ヘタレな数の領域で【計算してみた】

[TarZ (28055)]

# 2進数ネタは本家で書かれてしまったので、まじめに書く。

素数は、大きな数の領域になるほどに分布が疎らになっていきます。ということで、ある桁数の数についてみれば、1xxxxx の素数よりは、9xxxxx の素数のほうが少ないだろう、という見込みはなんとなくありそうに思えます。で、問題は

最高桁が「1」である数値は全体の約30%、「2」であるものは約18%、「3」であるもの約12%･･･「9」であるものは約5%という割合になっている

という法則に従うかどうか。

大まかな素数の分布を知るための式（素数定理）の簡単なものに、π(n) ≒ n/ln(n) があります。ここでいう"π(x)"は、円周率ではなく素数計数関数です。（x以下の個数の数を表す。ex. π(10) = 4 {2,3,5,7} ≒ 10/ln(10) [google.co.jp]）

この式を使って、小さな（google電卓で届くような）数の領域について、素数の数をみてみると…

Re:

[kawa-t (37052)]

詳細までは突っ込めませんが、ベンフォードの法則についての理解が間違っていると思います。

タレコミ文にあるリンク先を見てみれば分かりますが、1から10ⁿまでの数字を対象としたとき、nが整数であれば各数字の出現頻度はほぼ均一になります。ですので、素数がベンフォードの法則にしたがっているのであれば、nが整数の時、ほぼ均一です。しかし、上限に10の乗数以外の数字を取ると、振動して、収束しません。例えば、上限を2×10ⁿとすれば、1の出現率が極端に上昇します。

ベンフォードの法則が対象としている数字には特定の上限がないわけで、必ずしも10の乗数といった上限が存在しない自然発生的な数字に当てはまることが多いわけです。

自己レス

[kawa-t (37052)]

「10の乗数」は「10のべき乗」と読み替えてください。

すみません。