「2016年のノーベル物理学賞は、位相幾何学を用いて物質の相転移を研究した3氏に」記事へのコメント

KT転移とかハルデンギャップとか

[phason (22006)]

わりと磁性にも絡む分野で個人的に馴染みが深い方々が受賞しました．

Kosterlitz Thouless転移（KT転移．そしてちょくちょく無視されるBerezinskii）

もともと，低次元空間では相転移が起こりにくくなることが知られています．で，そういった研究の中からMermin-Wagnerの定理というものが生まれます．これは，「連続的な自由度がある2次元以下の系では，長距離秩序が存在できない」というものを数理的に証明したものです．例えば，3次元の任意の方向を向くことのできる（＝連続的な自由度がある）スピンが2次元に並んだ系は，有限温度では強磁性になれない，というような事を意味します（連続的にねじるような変形だと，無限小のエネルギーで大きなエントロピーを生み出せる．自然はエネルギーが低い or エントロピーが大きい状態を実現するため，有限温度で秩序相が容易に壊されてしまう）．

ところがKosterlitzとThouless（と，そのちょっと前にBerezinskii）が示したのは，「連続自由度の2次元系でも，有限温度で相転移を示すよ」という一見相反するような結論でした．通常の相転移では長距離秩序（遠くまで続くある種の整列）が生じるので，「長距離秩序の無い相転移」というのはなかなかに刺激的な結果です．
で，どんな相だったのかというと，渦をもつ相になります．例えば2次元の磁性体で言うと，全体のスピンの向きが一方向に揃ったもの（強磁性）は生じることができないのですが，いくつかの右回りや左回りの渦状にスピンが並んだものへの相転移が実現する，という事になります．で，右巻きと左巻きの渦がある程度の距離にあると互いに引き合って安定する，という感じで．この場合，長距離での相関は渦の存在によって破壊されていますので，「相転移はあるけど長距離秩序は無い」というものが実現しているわけです．
このあたりの転移は，当初から今で言うトポロジカルな系と見なされていたわけではありませんが，近年の「トポロジカルに保護された相」（外部から摂動が加わっても，系のもつトポロジカルな値ゆえに何らかの物理的な状態が壊れない相）との絡みから再解釈が行われ，トポロジカルな物性現象のはしりとして捉え直されたりもしています．

Haldaneギャップ

Haldeneが研究したのは一次元のスピン列です．反強磁性的な相互作用が働く1次元の系は，隣り合うスピンが逆を向こうとします．
↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓
（実はこれの↑と↓を入れ替えた状態が混ざるので，この描像は正確ではありませんが）

で，この状態に磁場をかけると，ほんの少しの磁場でほんの少しの磁化が生じます．こういう，ちょっとの刺激に対してある程度の反応を起こす系を「ギャップの無い系」と呼びます（小さなエネルギーで，変化が起こせる）．
ところがHaldeneの研究はこれに修正を求めます．スピンの大きさが1（などの整数）の系を考えましょう．これは，電子2つ分のスピンが非常に強く結びついていて，同じ方向を向いている，という事に対応します．このように分解した場合の反強磁性鎖を図で描くと，こんな感じ．
-↑=↑-↓=↓-↑=↑-↓=↓-↑=↑-↓=↓
ここで「=」は非常に強い原子内での強磁性相互作用，「-」は弱い原子間での反強磁性相互作用を示します．
これを書き直すと，以下のように見ることができます．
-↑)=(↑-↓)=(↓-↑)=(↑-↓)=(↓-↑)=(↑-↓)=(↓
二つのスピンが弱く反強磁性的に結びついていて，それが非常に強く強磁性的に結びついている，と．
そして面白いことに，実は「反強磁性的に結びついたスピンのペア」は有限温度で「↑↓」というペアを作って，磁性を失ってしまいます．そしてこのペア状態は，ある程度以上の強い磁場をかけないと，磁化を「全く生じない」という特徴があるのです．

つまり，スピンが1/2とか1/3とかの半整数の系では弱い磁場で弱い磁化が出るギャップの無い系なのに対し，スピンが1などの整数の系ではギャップをもちある程度以上の磁場をかけないと磁化が現れないという全く違う系になってしまうのです．
このように，「スピンの大きさが整数なのか半整数なのかで物性ががらりと変わる」というのは当時誰も予想しておらず，この結果（Haldeneギャップの存在）は驚きをもって迎えられました．
（そして現在では，多くの系でHaldeneギャップが存在することを実験的に確認できています）

KT転移にせよHaldeneギャップにせよ（そして今回とは関係ないけど量子ホール効果にせよ），色々な物理現象が「系のもつトポロジー」と関係していることが明らかとなり，そのような目線で物性現象を再解釈したり，新たな視線により新たな現象を見つけ出したり，といった事が盛んに行われています．
#とは言え，KT転移やHaldene鎖がトポロジカルな現象と関連づけられてノーベル賞になるとは思っても居ませんでしたが．