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三辺が10億以下くらいならPC回せば探索できそう。
そもそも三辺の比が整数になる直角三角形と二等辺三角形って有限個しかないのだろうか？（まずそこから
三辺の比が整数になる直角三角形の数＝ピタゴラス数の数→これは無限にあるらしい三辺の比が整数になる二等辺三角形の数＝これは無限にあるのは自明
三辺の比を整数で表すことの出来る直角三角形は無限にあるのは高校数学で証明出来た記憶があります。ググれば多分すぐ見つかるでしょう、多分。二等辺三角形は自明ですね。
この記事の問題は数学者以外にはまだまだハードルが高い数論幾何学の身近な適応例ということに意味があるのだと思います。数学者を目指すのなら理論のみやもっと難しい例題で理解しろでもいいのでしょうが、普通の人は分かりやすい例題から解いていかないと身につかないですから、そういう目的には適切かと。
もっとも、これの解法が分かりやすい例題なのかまでは私には判断できませんけれど。
「相似形以外」って条件をつけないと意味がない。3・4・5の直角三角形の各辺を整数倍した直角三角形が無限にあるのは自明だから。
「適応例」
無限にあること自体の証明であれば簡単。
一番長い辺（斜辺）の長さをm+1 とし、次に長い辺が mである場合だけ考えることにする。m+1 と m の最大公約数は１。これは互除法からわかる。このとき、m>1 であれば、m と m+1 は互いに素。残りの一辺は sqrt((m+1)^2-m^2)=sqrt(2m+1) だから、2m+1=n^2 となるように整数 n,m を選べばよい。左辺 2m+1 は奇数なので、右辺 n^2 も奇数で、n は奇数。m>2 だから、n=1 を飛ばして、n=3, m=4 => 3,4,5n=5, m=12 => 5,12,13...n=101, m=5100 => 101,5100,5101...これで無限に作れる。ただし、これで作れるのが全てではない。
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吾輩はリファレンスである。名前はまだ無い -- perlの中の人
頑張って反例を見つけるんだ (スコア:0)
三辺が10億以下くらいならPC回せば探索できそう。
Re: (スコア:0)
そもそも三辺の比が整数になる直角三角形と二等辺三角形って有限個しかないのだろうか？（まずそこから
Re:頑張って反例を見つけるんだ (スコア:1)
三辺の比が整数になる直角三角形の数＝ピタゴラス数の数→これは無限にあるらしい
三辺の比が整数になる二等辺三角形の数＝これは無限にあるのは自明
Re: (スコア:0)
三辺の比を整数で表すことの出来る直角三角形は無限にあるのは高校数学で証明出来た記憶があります。ググれば多分すぐ見つかるでしょう、多分。
二等辺三角形は自明ですね。
この記事の問題は数学者以外にはまだまだハードルが高い数論幾何学の身近な適応例ということに意味があるのだと思います。
数学者を目指すのなら理論のみやもっと難しい例題で理解しろでもいいのでしょうが、
普通の人は分かりやすい例題から解いていかないと身につかないですから、そういう目的には適切かと。
もっとも、これの解法が分かりやすい例題なのかまでは私には判断できませんけれど。
Re: (スコア:0)
「相似形以外」って条件をつけないと意味がない。
3・4・5の直角三角形の各辺を整数倍した直角三角形が無限にあるのは自明だから。
Re: (スコア:0)
「適応例」
Re: (スコア:0)
無限にあること自体の証明であれば簡単。
一番長い辺（斜辺）の長さをm+1 とし、次に長い辺が mである場合だけ考えることにする。
m+1 と m の最大公約数は１。これは互除法からわかる。
このとき、m>1 であれば、m と m+1 は互いに素。
残りの一辺は sqrt((m+1)^2-m^2)=sqrt(2m+1) だから、
2m+1=n^2 となるように整数 n,m を選べばよい。
左辺 2m+1 は奇数なので、右辺 n^2 も奇数で、n は奇数。
m>2 だから、n=1 を飛ばして、
n=3, m=4 => 3,4,5
n=5, m=12 => 5,12,13
...
n=101, m=5100 => 101,5100,5101
...
これで無限に作れる。
ただし、これで作れるのが全てではない。