「微分可能関数(8)」記事へのコメント

証明

[Quest of Math (20493)]

次のような関数gを考える。

g(y) = f(x) - Σ(1/k!)*(f^{(k)}(y))*((x-y)^k) - (1/(n+1)!)*c*((x-y)^(n+1))
(ただし、c∈R。k:0～n)

こうすると、gは[a,x]上連続、(a,x)上微分可能である。また、

g(x) = f(x) - Σ(1/k!)*(f^{(k)}(x))*((x-x)^k) - (1/(n+1)!)*c*((x-x)^(n+1))
= f(x) - f(x) = 0

である。

g(a) = f(a) - Σ(1/k!)*(f^{(k)}(a))*((x-a)^k) - (1/(n+1)!)*c*((x-a)^(n+1))

についてだが、ここはcの取り方により、g(a)=0とできると仮定する。

すると、g(a)=g(x)=0であるので、Rolleの定理より、
あるξ∈(a,x)が存在して

g'(ξ) = 0

となる。

g'(y) = - f'(y) - Σ((1/k!)*(f^{(k+1)}(y))*((x-y)^k) - k*f^{(k)}(y))*((x-y)^(k-1)))
+ ((n+1)/(n+1)!)*c*((x-y)^n) (k:1～n)

= -f'(y) - (f''(y)*(x-y) - f'(y) + (1/2)*f'''(y)*(x-y)^2 - f''(y)*(x-y) ... )
+ (1/n!)*c*((x-y)^n)

= -(1/n!)*f^{(n+1)}(y)*(x-y)^n + (1/n!)*c*((x-y)^n)

したがって、g'(ξ)=0より

-(1/n!)*f^{(n+1)}(ξ)*(x-ξ)^n + (1/n!)*c*((x-ξ)^n) = 0

c = f^{(n+1)}(ξ)

である。