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難問「ABC予想」解明か」記事へのコメント

  • 数学系はいるのかな?
    http://ja.wikipedia.org/wiki/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3 [wikipedia.org]
    を見る限り予想の内容は理解できるが、応用とか証明とかさっぱり・・・

    昨日の日刊スポーツの記事の方が、今日の読売より分かりやすい記事だ。
    ・「ABC予想」は、整数の方程式の解析では「最も重要な未解決の問題」
    ・まだほとんどの数学者が理解できていないような新たな数学的手法を開発し、駆使して証明。
    ・(上記数学的手法は)この予想以外の整数論の問題を解く強力な道具になるとも期待
    http://www.nikkansports.com/general/news/f-gn-tp0-20120918-1019282.html [nikkansports.com]

    御尊顔
    >平成4年に23歳で京都大助手に就任した際は日本語が

    • by Anonymous Coward on 2012年09月19日 20時07分 (#2234886)

      こちら(PDF注意) [tohoku.ac.jp]を参考に書き下してみる。

      【準備】
        rad(N) = (N を素因数分解して、指数を全部取っ払った数) と定義する。
      たとえば 200 = 2^3*5^2 だから rad(200) = 2*5 = 10

      【ABC予想】
        a+b=cで、aとbが互いに素な自然数なら、必ず c < rad(a*b*c)^2

      【フェルマーの最終定理の証明】
      x^n + y^n = z^n を満たす自然数 x,y,z が存在したとする(xとyに公約数があれば割って互いに素にしておく)。
      ABC予想により a=x^n, b=y^n, c=z^n とすると

      z^n < rad(x^n*y^n*z^n)^2
            = rad(x*y*z)^2   # radの定義よりn乗を引っぺがしても一緒
          <= (x*y*z)^2     # radを取る前の方が当然大きい
            < (z*z*z)^2    # xやyよりzのが大きい
            = z^6

      つまり z^n < z^6 、つまり n<6 (z>1 に注意)
      よって n が 6以上の場合は解が存在しない。
      一方、n=3,4,5 の場合は個別に解決されてる [wikipedia.org]ので、すなわち n>=3 において x^n + y^n = z^n を満たす自然数は存在しない。証明終わり。

      さ、350年の難問がこんなあっさりと…orz

      同じ方法で w^n + x^n + y^n = z^n の n>=8 の場合とかも解けそうですね。こりゃすげえや…

      親コメント
      • 【ABC予想】 a+b=cで、aとbが互いに素な自然数なら、必ず c < rad(a*b*c)^2

        今回解けたかと言われている「abc 予想」がどれのことか僕は知らないけど、少なくとも、普通に「abc 予想」と呼ばれるのは Oesterlé-Masser 予想 (1985) (PDF 内の「予想 7.6」) のことであって、あなたが引用しているバージョン (PDF 内の「予想 7.3」) じゃないと思うよ。

        親コメント
      • by Anonymous Coward

        とても分かりやすい説明どうもありがとうございました。
        惜しいので、Wikipediaに転載させていただきました。
        http://ja.wikipedia.org/wiki/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3 [wikipedia.org]

        • by Anonymous Coward

          ウィキペディアの記事が、どんどんバカになっていくのは見ていて楽しいです……

      • by Anonymous Coward

        不等号が2回現れてるからz^n < z^5もすぐに言えるわけで、n=5の場合も個別の証明はいらないんじゃね?
        rad(x*y*z)^2 <= (x*y*z)^2
        の部分も、(x*y*z)^2=(x^2*y^2*z^2)だから
        rad(x*y*z) < rad(x*y*z)^2

        • by Anonymous Coward

          ぎゃあ、後ろ3行は無視してorz

人生unstable -- あるハッカー

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