何がやっかいかと言って、9/0 の答えになるもの a が存在するとすると、 0 × a = 9 ということで、その得体の知れないものと、実数（0）を掛け合わせた結果が実数になってしまうと言うところでして。
虚数 i は、それに（0 以外の）実数をかけても実数にはならない。ということで、実数の世界に影響を与えずに虚数が存在できた。
0 × a = 9 だとすると、
2 × （0 × a) = 2 × 9 = 18
(2 × 0) × a = 0 × a = 9
おや、結合法則が使えない。
そうすると、a が入り込むだけで、実数の世界は体（数学用語の「体」・ていではない）をなさなくなってしまう。
実数の世界ががたがたに……。
といううのがもう、困ったことであります。
ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
解なしと言ってる人の中に「そう決まってるから」「数学のルールだから」という根拠（？）をあげている人が多くて閉口しました。ルールだというなら「0でわったら0になる」というルールで上書きされても仕方ない。
∞とか極限がどうとかいうのも的外れだし。
#複素平面なら話は別。
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:2)
「数学では自乗してマイナスになる数（本当は実数は）ないことになっている。
でも、自乗してマイナスになる「虚数」を導入して、領域を拡張した。
同じように、「数学ではゼロで割れないことになっている」のなら、ゼロで割った結果になる数字を導入して領域を拡張できないのか？」
という質問を見かけたことがあって、目の付け所はいいよなと思いました。
実際には、ゼロで割った結果というのを付け加えると、実数の演算が困ったことになるので、拡張できないということになるのですが。
端的には、a×b = 0 故に、少なくとも一方はゼロという論法が使えなくなってしまいまうのは困りものですし。
あ、だから、「ルールだから」というのを唯一の理由として「だめ」と主張するのが変だよというのは、まさにその通りだと思います。
¶「だますのなら、最後までだまさなきゃね」/ 罵声に包まれて、君はほほえむ。
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
虚数 i は、それに（0 以外の）実数をかけても実数にはならない。ということで、実数の世界に影響を与えずに虚数が存在できた。
0 × a = 9 だとすると、
2 × （0 × a) = 2 × 9 = 18
(2 × 0) × a = 0 × a = 9
おや、結合法則が使えない。
そうすると、a が入り込むだけで、実数の世界は体（数学用語の「体」・ていではない）をなさなくなってしまう。
実数の世界ががたがたに……。
といううのがもう、困ったことであります。
¶「だますのなら、最後までだまさなきゃね」/ 罵声に包まれて、君はほほえむ。
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
>9/0 の答えになるもの a が存在するとすると、 0 × a = 9 ということで
ではさらに，乗算と除算が逆演算では無いということに拡張して(以下略)
#どんどん歪にはなっていくけど出来なくはない……気もする。
Re: (スコア:0)
x数学用語の「体」・ていではない
○数学用語の「体」・たいではない
有限体 は ゆうげんたい とよむよね?
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
すでに、コメントも付いていますが……。
これを書いているときに、「体をなさない（ていをなさない）」と、普通に読めてしまうな、というところに気づきまして、気の利いた補足を付けたつもりだったのですが、ご指摘の通り、誤解を招く書き方でした。
¶「だますのなら、最後までだまさなきゃね」/ 罵声に包まれて、君はほほえむ。
Re: (スコア:0)
数学用語の「体」、つまり、「てい」ではない
と書きたかったんでしょうね。「・」の意味が紛らわしいですけど。
Re: (スコア:0)
ああそうか。有限体の体か。
「ていではない」の部分は書かなけりゃ良かったのに。
Re: (スコア:0)
「体」（数学用語で「たい」と読む。決して「てい」ではない）
くらい書いておけば誤解されないで済むかも。まあ、ちょっとくどいが。
Re: (スコア:0)
a は実数じゃないんだよね。なら実数の世界は壊れないんじゃないかな。
得体の知れない a と実数の積が実数になると定義しても、矛盾がなければ矛盾はない(?)。
矛盾なく定義できれば、a を導入した体系を作るのもできなくはない。
問題は、それが何の役にも立たないってこと。
代数学の基本定理によって虚数があれば任意の多項式が解けるという極めて重要な性質があるし、
信号処理なんかへの応用もあるから、虚数は実際に役に立つ。
それに対し、a を導入したその系が役に立ちそうな場面は見当たらない。
もし a が有用な場面が見つかれば数学史に名を残す発見になるかもしれないので、
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
虚数は単に「数を拡張してみました」だけではなく、お書きのようにこれ自体が有用だったのはお書きの通りです。
で、例えば、0 × k(n) = n となるような、数 k(n) を定義すると、（k の命名には特に意味がありません） 0 以外の実数と掛け合わせてもそれは、実数にはならないです。
で、0と掛け合わせたときに、一律0になってくれると、まだ助かるのですが、0ではないものになるので、ここで、実数の世界にちょっかいを出してきたような記憶が残っています。
かといって、実数との演算を「全くなし」にしてしまうと、0 × k(n) = n という定義自体が無意味になりますし。
実数との乗算が成立して、分配法則を仮定すると、 k(a) + k(b) = k(a + b) なんかは簡単に導けて、なんか、ベクトル空間ができるのではないかと思ったところで、結合法則でこけて、にっちもさっちもいかなくなったという、そういう記憶があったりします。
¶「だますのなら、最後までだまさなきゃね」/ 罵声に包まれて、君はほほえむ。