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開封型の場合
確率変数 U : 胴元が出した金額確率変数 X : 開封した封筒の中身の金額
交換した場合の得 U-2X
X = x である時の条件付期待値E[U - 2X | X = x] = Σ(u-2x)P(U = u, X = x)/P(X = x) = (xP(U = 3x, X = x) - (x/2)P(U = 3x/2, X = x))/P(X = x)
封筒に区別がつかない仮定からP(U = 3x, X = x) = P(U = 3x)/2P(U = 3x/2, X = x) = P(U = 3x/2)/2
また、P(X = x) = P(U = 3x, X = x) + P(U = 3x/2, X = x) = (P(U = 3x) + P(U = 3x/2))/2
p(u) = P(U = u)と置いて書き直すとE[U - 2X | X = x] = x(p(3x) - (1/2)p(3x/2))/(p(3x) + p(3x/2))
損得はUの確率分布による
未開封型の場合単純な期待値E[U - 2X] = Σ(u-2x)P(U = u, X = x) = Σ((u-2u/3)P(U = u, X = u/3) + (u-4u/3)P(U = u, X = 2/3)) = Σ((u/3)P(U = u)/2 - (u/3)P(U = u)/2) = 0
Uの確率分布にはよらずに0
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長期的な見通しやビジョンはあえて持たないようにしてる -- Linus Torvalds
私的まとめ (スコア:0)
開封型の場合
確率変数 U : 胴元が出した金額
確率変数 X : 開封した封筒の中身の金額
交換した場合の得 U-2X
X = x である時の条件付期待値
E[U - 2X | X = x] = Σ(u-2x)P(U = u, X = x)/P(X = x)
= (xP(U = 3x, X = x) - (x/2)P(U = 3x/2, X = x))/P(X = x)
封筒に区別がつかない仮定から
P(U = 3x, X = x) = P(U = 3x)/2
P(U = 3x/2, X = x) = P(U = 3x/2)/2
また、P(X = x) = P(U = 3x, X = x) + P(U = 3x/2, X = x) = (P(U = 3x) + P(U = 3x/2))/2
p(u) = P(U = u)と置いて書き直すと
E[U - 2X | X = x] = x(p(3x) - (1/2)p(3x/2))/(p(3x) + p(3x/2))
損得はUの確率分布による
未開封型の場合
単純な期待値
E[U - 2X] = Σ(u-2x)P(U = u, X = x)
= Σ((u-2u/3)P(U = u, X = u/3) + (u-4u/3)P(U = u, X = 2/3))
= Σ((u/3)P(U = u)/2 - (u/3)P(U = u)/2)
= 0
Uの確率分布にはよらずに0