Quest of Mathの日記： 微分可能関数(5)

関数f:(a,b)→Rについて、(a,b)上微分可能であるとする。
このとき、

∀x∈(a,b),f'(x)≧0 ⇒ fは単調増加

であることを証明せよ。

注意:同様に、単調減少についても成立する。
また、狭義単調の場合は、

∀x∈(a,b),f'(x)＞0 ⇒ fは狭義単調増加

である。

証明

[Quest of Math (20493)]

任意のx∈(a,b)について、fは微分可能で

f'(x)≧0

であるので、任意のx1,x2∈[a,b] (x1＜x2)について、

閉区間[x1,x2]⊆[a,b]

をとると、第1平均値の定理から、

∃c∈(x1,x2), (f(x2)-f(x1))/(x2-x1) = f'(c)

であるので、

f(x2)-f(x1) = f'(c)*(x2-x1)

となる。仮定から

f'(c)≧0, x2-x1＞0 ⇒ f'(c)*(x2-x1)≧0

であるので、

f(x2)-f(x1) ≧ 0

すなわち、

f(x2) ≧ f(x1)

である。x1,x2は任意であったので、fは[a,b]上単調増加である。