Quest of Mathの日記： 一様収束(6)

関数列{fn}の任意の元fnは、

fn:D→R

という関数である。さらに次の条件を満たす。

Σ||fn||_{D}が有限値 (n:0～∞)

このとき、級数ΣfnはD上一様収束して、∀x∈Dで級数Σfn(x)が絶対収束することを証明せよ。

これを、「ワイエルシュトラスの定理」という。

証明

[Quest of Math (20493)]

部分和

Fm = Σfn (n:1～m,m=1,2,3,...)

がノルム||・||_{D}に関してCauchy列であることを示す。

||Fm - Fk||_{D} (m≧k) = ||Σfn (n:k～m) ||_{D}
  ≦ Σ||fn||_{D} (n:k～m)

である。Σ||fn||_{D} (n:1～∞)は収束するので、
{Fm}は||・||_{D}に関するCauchy列である。
したがって、「一様収束(5)」よりΣfn (n:1～∞)はD上一様収束する。

また、||・||_{D}の定義から

Σ|fn| (n:1～∞) ≦ Σ||fn||_{D} (n:1～∞)

より、Σ||fn||_{D} (n:1～∞)は収束するので、
Σ|fn| (n:1～∞)も収束する。