Quest of Mathの日記： 一様収束(7)

z0∈K=R∪C,数列{cn}⊂Kとする。

f(z) = Σcn*(z-z0)^n (n:0～∞)

と定義されるf(z)が∃z1(≠z0)で収束するとする。

B(z0,r)={z∈K | |z-z0|≦r, r＞0}

とする。

0 ＜ r ＜ |z1-z0|

となるrについて、上のf(z)はB(z0,r)上一様絶対収束する。

また、

Σn*cn*(z-z0)^(n-1) (n:0～∞)

もB(z0,r)上一様絶対収束する。

これを証明せよ。

証明

[Quest of Math (20493)]

z∈B(z0,r)について、

|cn*(z-z0)^n| = |cn*(z1-z0)^n|*|(z-z0)^n|/|(z1-z0)^n|

仮定から、

|cn*(z-z0)^n| ≦ |cn*(z1-z0)^n|*|r/(z1-z0)|^n

である。r＜|z1-z0|であるので、|r/(z1-z0)|＜1である。

また、z1においてfは収束するのだから、

|cn*(z1-z0)^n| ≦ |f(z1)| ≦ M

となるようなM∈Rが存在する。したがって、

|cn*(z-z0)^n| ≦ M*|r/(z1-z0)|^n

ここでd'Alembert判定法を使うと、
(d'Alembert判定法は下のレスにて示す)

(M*|r/(z1-z0)|^(n+1))/(M*|r/(z1-z0)|^n) = |r/(z1-z0)| ＜ 1

であるので、ΣM*|r/(z1-z0)|^n (n:1～∞)は収束する。
したがって、B(z0,r)の定義から、

Σ||cn*(z-z0)^n||_{B(z0,r)} (n:1～∞)
≦ ΣM*|r/(z1-z0)|^n (n:1～∞)

であるので、Σ||cn*(z-z0)^n||_{B(z0,r)} (n:1～∞)は収束して
ワイエルシュトラスの定理からf(z)はB(z0,r)上一様絶対収束する。

次に、Σn*cn*(z-z0)^(n-1) (n:0～∞)がB(z0,r)上一様絶対収束することを証明する。
上と同様にすると、

|n*cn*(z-z0)^n| ≦ n*M*|r/(z1-z0)|^n

となって、d'Alembert判定法を使うと、

((n+1)*M*|r/(z1-z0)|^(n+1))/(n*M*|r/(z1-z0)|^n)
= (n+1)/n*|r/(z1-z0)|
= (1+1/n)*|r/(z1-z0)| → |r/(z1-z0)| ＜ 1 (n→∞)

したがって、Σn*M*|r/(z1-z0)|^n (n:1～∞)は収束する。
よって、上と同様にΣn*cn*(z-z0)^(n-1) (n:0～∞)が
B(z0,r)上一様絶対収束する。

d'Alembert判定法

[Quest of Math (20493)]

上の証明で使ったd'Alembert判定法を紹介する。

条件

∀n∈N,an≧0

を満たす級数Σan (n:1～∞)について、

a_{n+1}/an → α ＜ 1 (n→∞,α∈R)

であるならば、Σan (n:1～∞)は収束する。

これを、「d'Alembert」判定法という。