Quest of Mathの日記： 一様収束(8)

z0∈K=R∪C,数列{cn}⊂Kとする。

f(z) = Σcn*(z-z0)^n (n:0～∞)
B(z0,r)={z∈K | |z-z0|≦r, r＞0}

について、

R = sup{r | f(z)がB(z0,r)上収束}

このRをf(z)の「収束半径」という。

z0=0,cn=1/n!,x∈Rとしたとき、すなわち

f(x)=Σ(x^n)/n!

の収束半径を求めよ。

証明

[Quest of Math (20493)]

f(x)=Σ(x^n)/n!

であるので、

n!/(n+1)! = 1/(n+1) → 0 (n→∞)

であるので、収束半径は∞である。